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Au moyen des équations d’équilibre de la plaque, on déterminera successivement, les uns d’après les autres, les coefficients de ces séries, et l’on connaîtra l’état de la plaque à tel degré d’approximation qu’on le jugera convenable. Nous nous arrêterons à la première puissance de $\zeta ,$ de sorte que nous aurons simplement :

$u'=u+{\frac {du'}{d\zeta }}\zeta ,\qquad v'=v+{\frac {dv'}{d\zeta }}\zeta ,\qquad w'=z+{\frac {dw'}{d\zeta }}\zeta \,;\quad$(2)

formules qui ne contiendront que six inconnues dont il s’agira de trouver les valeurs en fonctions de $x$ et $y.$ L’expression de $z$ fera connaître la forme que prendra la section moyenne les valeurs de $u$ et $v$ seront les déplacements de ses points suivant sa propre direction la différence des valeurs de $w'$ qui répondent à $\zeta =\pm \varepsilon ,$ exprimera l’épaisseur de la plaque, devenue variable d’un point à un autre après le changement de forme.

(66) Si l’on désigne par \mathrm{X',Y',Z'}, les composantes parallèles aux axes des $x,y,z,$ de la force donnée qui agit au point M’, les équations (3) du n^o 8 appliquées à ce point seront :

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {X} '_{\rho }&={\frac {d\mathrm {P} _{1}}{d\zeta }}\,+{\frac {d\mathrm {P} _{2}}{dy}}+{\frac {d\mathrm {P} _{3}}{dx}},\\\mathrm {Y} '_{\rho }&={\frac {d\mathrm {Q} _{1}}{d\zeta }}+{\frac {d\mathrm {Q} _{2}}{dy}}+{\frac {d\mathrm {P} _{2}}{dx}},\\\mathrm {Z} '_{\rho }&={\frac {d\mathrm {R} _{1}}{d\zeta }}+{\frac {d\mathrm {Q} _{1}}{dy}}+{\frac {d\mathrm {P} _{1}}{dx}}\,;\end{aligned}}\right\}\quad$(3)

et elles auront lieu pour toutes les valeurs de $x,y$ et $\zeta .$

Si le point $\mathrm {M} '$ appartient à l’une des faces de la plaque, et que l’on veuille former pour ce point les équations (4) du n^o 10, on y fera