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moyenne, aucune des trois équations (13) ne subsistera ; mais outre la condition $z=0,$ il faudra que les déplacements $u'$ et $v'$ soient aussi nuls dans toute l’épaisseur de la plaque ; ce qui exigera qu’on ait, en vertu des formules (2) :

${\frac {du'}{d\zeta }}=0,\qquad {\frac {dv'}{d\zeta }}=0\,;$

équations dans lesquelles on emploiera les valeurs de ${\frac {du'}{d\zeta }}$ et ${\frac {dv'}{d\zeta }}$ du numéro précédent. Dans les applications qu’on en fera, il sera plus commode de les remplacer par celles-ci :

${\frac {du'}{d\zeta }}{\frac {dy}{ds}}-{\frac {dv'}{d\zeta }}{\frac {dx}{ds}}=0,\qquad {\frac {du'}{d\zeta }}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {dv'}{d\zeta }}{\frac {dy}{ds}}=0,$

qui leur sont équivalentes, et où l’on a représenté par $ds$ l’élément différentiel du contour. On pourra négliger, dans la première, les termes multipliés par $\varepsilon ^{2},$ qui sont très-petits par rapport aux termes indépendants de l’épaisseur, ce qui la réduira à

${\frac {dz}{dx}}{\frac {dy}{ds}}-{\frac {dz}{dy}}{\frac {dx}{ds}}=0.$

Il n’en sera pas de même à l’égard de la seconde équation, laquelle devient

${\frac {dz}{dx}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {dz}{dy}}{\frac {dy}{ds}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}\left[{\frac {\rho }{k}}\left({\frac {dX'}{d\zeta }}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {dY'}{d\zeta }}{\frac {dy}{ds}}\right)\right.$

$\left.-{\frac {8}{3}}\left({\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}z}{dxdy^{2}}}\right){\frac {dx}{ds}}-{\frac {8}{3}}\left({\frac {d^{3}z}{dy^{3}}}+{\frac {d^{3}z}{dydx^{2}}}\right){\frac {dy}{ds}}\right]=0,$

après la substitution des valeurs de ${\frac {du'}{d\zeta }}$ et ${\frac {dv'}{d\zeta }}.$ Or, si l’on différentie l’équation $z=0,$ par rapport à $x$ et $y,$ en y con-