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ront très-petits et pourr ont être négligés par rapport aux autres termes. Avant de terminer ce paragraphe, nous allons nous servir des équations (13) pour vérifier les conditions ordinaires de l’équilibre de toutes les forces données qui agissent sur une plaque élastique dont les bords sont entièrement libres, ce qui servira de confirmation à notre analyse.

(74) D’après les notations précédentes, ces conditions seront exprimées par trois équations, savoir :

$\left.{\begin{aligned}\iint \left(\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }\mathrm {Z} '\rho d\zeta \right)dxdy&+\int \operatorname {F} ds=0,\\\iint \left(\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }\mathrm {Z} '\rho d\zeta \right)xdxdy&-\iint \left(\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }\mathrm {X} '\rho \zeta d\zeta \right)dxdy\\&\qquad \qquad +\int (x\operatorname {F+H} )ds=0,\\\iint \left(\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }\mathrm {Z} '\rho d\zeta \right)ydxdy&-\iint \left(\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }\mathrm {Y} '\rho \zeta d\zeta \right)dxdy\\&\qquad \qquad +\int (y\operatorname {F+H'} )ds=0\,;\end{aligned}}\right\}$(15)

$ds$ étant l’élément du contour de la section moyenne, les intégrales simples s’étendant au contour entier et les intégrales doubles à l’aire entière de cette section.

Si l’on néglige les puissances de $\varepsilon$ supérieures à la quatrième, on a

$\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }\mathrm {Z} '\rho d\zeta =2\rho \varepsilon \left(\mathrm {Z} +{\frac {\varepsilon ^{2}}{6}}{\frac {d^{2}\mathrm {Z} '}{d\zeta ^{2}}}\right)\,;$

en vertu de l’équation (g), on aura donc