![{\displaystyle {\begin{aligned}\iint \left(\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }\mathrm {Z} '\rho d\zeta \right)dxdy=&{\frac {2\varepsilon ^{3}}{3}}\left[\iint \left({\frac {8k}{3}}\left({\frac {d^{4}z}{dx^{4}}}+{\frac {d^{4}z}{dx^{2}dy^{2}}}\right)-\rho {\frac {d^{2}\mathrm {X} '}{d\zeta dx}}\right)dxdy\right.\\&+\left.\iint \left({\frac {8k}{3}}\left({\frac {d^{4}z}{dy^{4}}}+{\frac {d^{4}z}{dx^{2}dy^{2}}}\right)-\rho {\frac {d^{2}\mathrm {Y} '}{d\zeta dy}}\right)dxdy\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b926011f03531cc2b0654e923958b5686fd5d9cc)
Une des deux intégrations s’effectue immédiatement dans chaque intégrale double ; à la première limite de l’intégrale relative à 
on a 
et à la seconde 
étant toujours l’angle que fait avec l’axe des la normale au bord de la plaque, menée en dehors par le point du contour de la section moyenne qui répond aux coordonnées 
et 
de même, à la première limite de l’intégrale relative à 
on a 
et à la seconde 
on conclut de là que chacune des intégrales doubles se réduira à une simple, qui s’étendra au contour entier de la section moyenne ; et en réduisant les deux intégrales simples en une seule, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\iint \left(\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }\mathrm {Z} '\rho d\zeta \right)dxdy=&{\frac {2\varepsilon ^{3}}{3}}\int \left[\left({\frac {8k}{3}}\left({\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}z}{dxdy^{2}}}\right)-\rho {\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}\right)\cos .\theta \right.\\&+\left.\left({\frac {8k}{3}}\left({\frac {d^{3}z}{dy^{3}}}+{\frac {d^{3}z}{dydx^{2}}}\right)-\rho {\frac {d\mathrm {Y} '}{d\zeta }}\right)\sin .\theta \right]ds\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0b8c3d44b18b4fc5a4af6f4c6a5cc84576de0d)
résultat idențique avec la première équation (15), en vertu de la première équation (13).
Nous aurons aussi
![{\displaystyle {\begin{aligned}\iint \left(\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }\mathrm {Z} '\rho d\zeta \right)xdxdy=&{\frac {2\varepsilon ^{3}}{3}}\left[\iint \left({\frac {8k}{3}}\left({\frac {d^{4}z}{dx^{4}}}+{\frac {d^{4}z}{dx^{2}dy^{2}}}\right)-\rho {\frac {d^{2}\mathrm {X} '}{d\zeta dx}}\right)xdxdy\right.\\&+\left.\iint \left({\frac {8k}{3}}\left({\frac {d^{4}z}{dy^{4}}}+{\frac {d^{4}z}{dx^{2}dy^{2}}}\right)-\rho {\frac {d^{2}\mathrm {Y} '}{d\zeta dy}}\right)xdxdy\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9751cba6b9f55e758b49b6b1610bbcec68afbee)
En ajoutant aux deux membres de cette équation, un terme :
