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$\int _{0}^{\pi }\sin .(\mu r\cos .\omega )d\omega =0,\quad \int _{0}^{\pi }\sin .(\mu r\cos .\omega )\log .(r\sin .^{2}\omega )d\omega =0,$

la valeur de $z$ conclue de celles de $z'$ et $z'',$ sera alors :

$z=\sum \left[\mathrm {A} \int _{0}^{\pi }\cos .(\mu r\cos .\omega )d\omega \right.$

$\left.+\mathrm {A} '\int _{0}^{\pi }\cos .(\mu r\cos .\omega )\log .(r\sin .^{2}\omega )d\omega \right]\cos .\mu ^{2}at\,;$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} '$ étant ainsi que $\mu$ des quantités indépendantes de $r$ et $t,$ auxquelles se rapporte la somme $\sum .$ Je désigne par $m$ une autre constante ; j’écris successivement $m$ et $m{\sqrt {-1}}$ à la place de $\mu \,;$ dans le cas de $\mu =m,$ je conserve les coefficients $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} '\,;$ dans le cas de $\mu =m{\sqrt {-1}},$ je les remplace par $\mathrm {B}$ et $\mathrm {B} '\,;$ il vient

$\left.{\begin{aligned}z=&\sum \left[\mathrm {A} \int _{0}^{\pi }\cos .(mr\cos .\omega )d\omega +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} \int _{0}^{\pi }\left(e^{mr\cos .\omega }+e^{-mr\cos .\omega }\right)d\omega \right.\\&+\mathrm {A} '\int _{0}^{\pi }\cos .(mr\cos .\omega )\log .\left(r\sin .^{2}\omega \right)d\omega \\&+\left.{\frac {1}{2}}\mathrm {B} '\int _{0}^{\pi }\left(e^{mr\cos .\omega }+e^{-mr\cos .\omega }\right)\log .\left(r\sin .^{2}\omega \right)d\omega \right]\cos .m^{2}at\,;\end{aligned}}\right\}(7)$

et c’est sous cette forme que nous emploierons la valeur de $z.$

L’expression de $\varphi$ qui s’en déduit peut être simplifiée en considérant les équations différentielles :

${\frac {d^{2}u}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {du}{dr}}=-m^{2}u,\qquad {\frac {d^{2}u'}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {du'}{dr}}=m^{2}u',$

dont les intégrales complètes sont^[1] :

1. Journal de l’École polytechnique, 19^e cahier, page 475.