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mieux au calcul des vibrations, faisons

${\begin{alignedat}{2}f\;x=&\sum (\mathrm {C} \cos .\mu x+\mathrm {D} \sin .\mu x),&\operatorname {F} \;x=&\sum (\mathrm {E} \cos .\mu x+\mathrm {F} \sin .\mu x),\\f'x=&\sum (\mathrm {C} '\cos .\mu x+\mathrm {D} '\sin .\mu x),\quad &\operatorname {F} 'x=&\sum (\mathrm {E} '\cos .\mu x+\mathrm {F} '\sin .\mu x),\\\end{alignedat}}$

$\mathrm {C,\,D,\,E,\,F,\,C',\,D',\,E',\,F'} ,\,\mu ,$ étant des quantités indépendantes de la variable $x,$ et les sommes $\sum$ s’étendant à toutes leurs valeurs possibles, réelles ou imaginaires. Comme on a

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha ^{2}}\sin .2\mu h\alpha {\sqrt {at}}d\alpha =0,$

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha ^{2}}\cos .2\mu h\alpha {\sqrt {at}}d\alpha ={\sqrt {\pi }}e^{-\mu ^{2}ah^{2}t}$

$={\sqrt {\pi }}\left(\cos .\mu ^{2}at+{\sqrt {-1}}\sin .\mu ^{2}at\right),$

et de même en mettant $h'$ à la place de $h,$ il en résulte que les valeurs de $z'$ et $z'',$ et par suite la valeur de $z,$ se trouveront exprimées en séries de quantités de la forme :

$\mathrm {R} \cos .\mu ^{2}at+\mathrm {R} '\sin .\mu ^{2}at,$

$\mathrm {R}$ et $\mathrm {R} '$ étant des fonctions de $r.$ Les termes qui renferment un cosinus dépendront des valeurs initiales de $z,$ et ceux qui contiennent un sinus, de celles de ${\frac {dz}{dt}}\,;$ mais les uns et les autres donnant lieu à des conséquences absolument semblables, pour avoir à écrire de moins longues formules, nous supprimerons les termes de la seconde espèce ; ce qui revient à supposer nulles les vitesses initiales de la plaque, de sorte qu’elle ait été mise en mouvement en lui faisant prendre la forme d’une surface de révolution, et l’abandonnant ensuite à elle-même. En observant que