mieux au calcul des vibrations, faisons
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}f\;x=&\sum (\mathrm {C} \cos .\mu x+\mathrm {D} \sin .\mu x),&\operatorname {F} \;x=&\sum (\mathrm {E} \cos .\mu x+\mathrm {F} \sin .\mu x),\\f'x=&\sum (\mathrm {C} '\cos .\mu x+\mathrm {D} '\sin .\mu x),\quad &\operatorname {F} 'x=&\sum (\mathrm {E} '\cos .\mu x+\mathrm {F} '\sin .\mu x),\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4da55a35bdc9ea2b7d41b19d81d4a82068b19bd)
étant des quantités indépendantes de la variable
et les sommes
s’étendant à toutes leurs valeurs possibles, réelles ou imaginaires. Comme on a
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha ^{2}}\sin .2\mu h\alpha {\sqrt {at}}d\alpha =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb990767337b6205d81bf3ff1d54fbe899eb9be3)
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha ^{2}}\cos .2\mu h\alpha {\sqrt {at}}d\alpha ={\sqrt {\pi }}e^{-\mu ^{2}ah^{2}t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33696daa89ed47c7752afaab435ca12d6b92b0dc)
![{\displaystyle ={\sqrt {\pi }}\left(\cos .\mu ^{2}at+{\sqrt {-1}}\sin .\mu ^{2}at\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e70a233c39ab77d39a62125e1268a6a5c63fe5e7)
et de même en mettant
à la place de
il en résulte que les valeurs de
et
et par suite la valeur de
se trouveront exprimées en séries de quantités de la forme :
![{\displaystyle \mathrm {R} \cos .\mu ^{2}at+\mathrm {R} '\sin .\mu ^{2}at,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4963d425bb295b7db3f0bdd203cd015e76416e8)
et
étant des fonctions de
Les termes qui renferment un cosinus dépendront des valeurs initiales de
et ceux qui contiennent un sinus, de celles de
mais les uns et les autres donnant lieu à des conséquences absolument semblables, pour avoir à écrire de moins longues formules, nous supprimerons les termes de la seconde espèce ; ce qui revient à supposer nulles les vitesses initiales de la plaque, de sorte qu’elle ait été mise en mouvement en lui faisant prendre la forme d’une surface de révolution, et l’abandonnant ensuite à elle-même. En observant que