où l’on fera
ce qui donnera après quelques réductions :
![{\displaystyle 2ml\int _{0}^{\pi }\left(e^{ml\cos .\omega }+e^{-ml\cos .\omega }\right).\int _{0}^{\pi }\cos .(ml\cos .\omega )\cos .\omega d\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449d124c8d0fa402bfc61cfe2dd58fa1d10efdd7)
![{\displaystyle -{\frac {3}{4}}\left[\int _{0}^{\pi }\left(e^{ml\cos .\omega }+e^{-ml\cos .\omega }\right)d\omega .\int _{0}^{\pi }\sin .(ml\cos .\omega )\cos .\omega d\omega \right.\qquad \quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c98c5e40e1fbb0105b49b723327b4ecccec549)
(12)
![{\displaystyle \left.+\int _{0}^{\pi }\left(e^{ml\cos .\omega }-e^{-ml\cos .\omega }\right)\cos .\omega d\omega .\int _{0}^{\pi }\cos .(ml\cos .\omega )d\omega \right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebfab42e958dad234ed8affe4a3febd01bd85d30)
Cette équation servira à déterminer les valeurs de
et par suite les différents sons que la plaque peut faire entendre. Si l’on désigne par
une des valeurs de
qui s’en déduisent, et par
le nombre de vibrations dans l’unité de temps qui sert de mesure au son correspondant, on aura, comme dans le no précédent :
![{\displaystyle n'={\frac {\lambda '^{2}\varepsilon }{3\pi l^{2}}}{\sqrt {\frac {2k}{\rho }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6015ea88809a38c207ff961c4d790dd262ac2c86)
Si l’on développe le premier membre de l’équation (12), suivant les puissances de
ou de
et qu’on fasse
on trouve :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&1-{\frac {x'^{2}}{2}}+{\frac {x'^{4}}{96}}-{\frac {x'^{6}}{25920}}+{\frac {x'^{8}}{23224320}}-{\text{etc}}.\\&-{\frac {3}{8}}\left(1-{\frac {x'^{2}}{6}}+{\frac {x'^{4}}{480}}-{\frac {x'^{6}}{181440}}+{\frac {x'^{8}}{209018880}}-{\text{etc}}\right)=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4318c945bc0cef988a37406ea1c670e59210653)
Les valeurs approchées des deux plus petites racines de cette équation résolue par rapport à
sont
![{\displaystyle x'^{2}=1{,}4761,\qquad x'^{2}=55.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bfed0958620282e30f9cd1f9c682a72a590a478)
On a en même temps