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Nous employons en premier lieu l’expression suivante :

$v=\sum e^{-i^{2}t}\sin .(ix)\alpha _{i},$

en désignant par $\alpha _{i}\,;$ une fonction inconnue du temps $t$ qui contient aussi l’indice $i\,;$ on voit que $v$ deviendrait nulle lorsque $x=0,$ et deviendrait encore nulle lorsque $x=\varpi .$ Or pour cette dernière valeur de $x$ la quantité $v$ doit devenir $ft,$ on aura donc

$(7)\qquad v={\frac {x}{\varpi }}ft+\sum \alpha _{i}e^{-i^{2}t}\sin .(ix),$

il reste à déterminer sous le signe $\sum$ la fonction $\alpha _{i},$ en sorte que l’équation différentielle soit satisfaite, et que la valeur de $v$ se réduise à zéro lorsqu’on fait $t=0\,:$ car dans cette question les températures initiales intermédiaires sont supposées nulles. Or l’équation différentielle est

${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}={\frac {dv}{dt}},$

ce qui donne, d’après la dernière expression de $v,$

(8)

$-\sum i^{2}\alpha _{i}e^{-i^{2}t}\sin .(ix)={\frac {x}{\varpi }}f't-\sum \alpha _{i}i^{2}e^{-i^{2}t}\sin .(ix)$

$+\sum {\frac {d\alpha _{i}}{dt}}e^{-i^{2}t}\sin .(ix),$

donc l’équation différentielle sera satisfaite si l’on a

${\frac {x}{\varpi }}f't+\sum {\frac {d\alpha _{i}}{dt}}e^{-i^{2}t}\sin .(ix)=0.$

C’est par cette condition qu’il faut déterminer la fonction $\alpha _{i}.$ Or la valeur de $x$ peut être remplacée dans cette dernière équa-