lations singulières du nombre des variations de signes avec les valeurs des racines, le théorème dont la règle de Descartes est un cas particulier, et qui s’applique, soit aux nombres des variations de signes, soit aux différences de ces nombres, enfin les règles pour la distinction des racines imaginaires, s’étendent certainement à tous les genres de fonctions. Il n’est pas nécessaire qu’en poursuivant les différentiations, on puisse toujours former une équation dont on sait que toutes les racines sont réelles. Ce serait retrancher une des parties les plus importantes et les plus fécondes de l’art analytique, que de borner les théorèmes et les règles dont nous parlons aux seules fonctions algébriques, ou d’étendre seulement ces théorèmes à quelques cas particuliers. La considération des courbes dérivées successives jointe au procédé que j’ai donné (Société philomatique, année 1820, pages 185, 187), et qui fait connaître promptement et avec certitude si deux racines cherchées sont imaginaires ou réelles, suffit pour résoudre toutes les équations déterminées.
Je regrette de ne pouvoir donner à ces remarques théoriques les développements qu’elles exigeraient. J’ai rapporté plusieurs éléments de cette discussion dans la suite de ce mémoire ; elle sera exposée plus complètement dans le traité qui a pour objet l’analyse générale des équations déterminées.
J’ai ajouté à cette même partie du Mémoire quelques remarques sur la question du mouvement des ondes ; elles se rapportent aussi à la théorie analytique de la chaleur, parce qu’elles concernent l’emploi des fonctions arbitraires. Le but de ces remarques est de prouver que la question des ondes ne peut être généralement résolue si l’on n’introduit pas
