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substituons ces valeurs de $u,v,w,$ et celle de $\varphi$ dans les équations (3) ; en ayant égard aux différentielles relatives à $x,y,z,$ de l’équation (4), et réduisant, nous aurons

$\left.{\begin{alignedat}{2}{\frac {d^{2}u'}{dt^{2}}}&={\frac {a^{2}}{3}}\left({\frac {d^{2}u'}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}u'}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}u'}{dz^{2}}}\right),\\{\frac {d^{2}v'}{dt^{2}}}&={\frac {a^{2}}{3}}\left({\frac {d^{2}v'}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v'}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v'}{dz^{2}}}\right),\\{\frac {d^{2}w'}{dt^{2}}}&={\frac {a^{2}}{3}}\left({\frac {d^{2}w'}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}w'}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}w'}{dz^{2}}}\right)\,;\end{alignedat}}\right\}$(6)

et si nous faisons les mêmes substitutions dans l’équation (2), il en résultera

${\frac {du'}{dx}}+{\frac {dv'}{dy}}+{\frac {dw'}{dz}}=0.\qquad$(7)

Cela posé, d’après ce que j’ai trouvé dans un autre Mémoire, l’intégrale complète de l’équation (4) sous forme finie, sera

$\varphi '=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }f\left(x+at\cos .\alpha ,\ y+at\sin .\alpha \sin .\beta ,\right.$

$\left.z+at\sin .\alpha \cos .\beta \right)t\sin .\alpha d\alpha d\beta$

$+{\frac {d.}{dt}}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\operatorname {F} \left(x+at\cos .\alpha ,\ y+at\sin .\alpha \sin .\beta ,\right.$

$\left.z+at\sin .\alpha \cos .\beta \right)t\sin .\alpha d\alpha d\beta ,$

en désignant par $f$ et $\mathrm {F}$ les deux fonctions arbitraires, et par $\pi$ le rapport de la circonférence au diamètre. Les intégrales des équations (6) se déduiront de celle-ci en y mettant ${\frac {a}{\sqrt {3}}}$ à la place de $a,$ et changeant les fonctions arbitraires ; si l’on désigne par ${\frac {df_{1}}{dx}},{\frac {d\operatorname {F_{1}} }{dx}},{\frac {df_{2}}{dx}},{\frac {d\operatorname {F_{2}} }{dx}},$ celles qui entreront dans