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nous pourrons les écrire ainsi :

$\left.{\begin{alignedat}{2}{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}&={\frac {a^{2}}{3}}\left({\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}\right)&&+{\frac {2a^{2}}{3}}{\frac {d^{3}\varphi }{dxdt^{2}}},\\{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}&={\frac {a^{2}}{3}}\left({\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\right)&&+{\frac {2a^{2}}{3}}{\frac {d^{3}\varphi }{dydt^{2}}},\\{\frac {d^{2}w}{dt^{2}}}&={\frac {a^{2}}{3}}\left({\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}w}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}\right)&&+{\frac {2a^{2}}{3}}{\frac {d^{3}\varphi }{dzdt^{2}}}.\end{alignedat}}\right\}$(3)

En les ajoutant après les avoir différentiées respectivement par rapport à $x,y,z,$ on en conclura

${\frac {d^{4}\varphi }{dt^{4}}}=a^{2}\left({\frac {d^{4}\varphi }{dx^{2}dt^{2}}}+{\frac {d^{4}\varphi }{dy^{2}dt^{2}}}+{\frac {d^{4}\varphi }{dz^{2}dt^{2}}}\right)\,:$

et si l’on intègre tous les termes de cette équation deux fois de suite par rapport à $t,$ on aura

${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=a^{2}\left({\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}+\mathrm {P} t+\mathrm {Q} \right)\,;$

$\mathrm {P}$ et $\mathrm {\mathrm {Q} }$ étant des fonctions arbitraires de $x,y,z.$ Si l’on désigne par $p$ et $q$ deux autres fonctions de ces variables et qu’on fasse

$\varphi =\varphi '+pt+q,$

on pourra réduire l’équation précédente à celle-ci :

${\frac {d^{2}\varphi '}{dt^{2}}}=a^{2}\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dz^{2}}}\right),\qquad$(4)

en établissant entre $p,q,\mathrm {P,Q} ,$ ces relations :

${\frac {d^{2}p}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}p}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}p}{dz^{2}}}+\mathrm {P} =0,\qquad {\frac {d^{2}q}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}q}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}q}{dz^{2}}}+\mathrm {Q} =0.$

Soit maintenant

$u=u'+a^{2}{\frac {d\varphi '}{dx}},\qquad v=v'+a^{2}{\frac {d\varphi '}{dy}},\qquad w=w'+a^{2}{\frac {d\varphi '}{dz}}\,;\qquad$(5)