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Je substitue cette valeur dans les équations (4). J’effectue les sommations relatives à l’angle $\psi$ qui donnent

$\sum \sigma =2\pi ,\quad \sum \cos .\psi \sin .\psi \sigma =0,\quad \sum \cos .^{2}\psi \sigma =\sum \sin .^{2}\psi \sigma =\pi .$

Je supprime les termes qui ont pour facteur, soit $s-s'$ soit $\left({\frac {du}{dx}}\right)-\left[{\frac {d\mathrm {U} }{dx}}\right]$ ou $\left({\frac {du}{dy}}\right)-\left[{\frac {d\mathrm {U} }{dy}}\right],$ et qui disparaissent dans la double sommation relative à $s$ et $s',$ parce que chacune de ces deux variables passe par les mêmes valeurs que l’autre, depuis zéro jusqu’à $l,$ et que d’ailleurs $\mathrm {U}$ est une fonction symétrique de $s$ et $s'.$ De cette manière, nous aurons

${\begin{aligned}\mathrm {T} _{2}&=-{\frac {\pi }{2}}\sum {\frac {u^{3}}{\varepsilon ^{3}}}{\frac {d\mathrm {U} }{dx}}=-{\frac {\pi }{2}}\sum {\frac {d.{\cfrac {u^{3}\mathrm {U} }{\varepsilon ^{3}}}}{dx}},\\\mathrm {T} '_{2}&=-{\frac {\pi }{2}}\sum {\frac {u^{3}}{\varepsilon ^{3}}}{\frac {d\mathrm {U} }{dy}}=-{\frac {\pi }{2}}\sum {\frac {d.{\cfrac {u^{3}\mathrm {U} }{\varepsilon ^{3}}}}{dy}},\\\mathrm {N} _{2}&=-\pi \mathrm {\left(E+E'\right)} \sum {\frac {u^{3}\mathrm {U} }{\varepsilon ^{3}}}=-{\frac {\pi }{2}}\left({\frac {1}{\lambda }}+{\frac {1}{\lambda '}}\right)\sum {\frac {u^{3}\mathrm {U} }{\varepsilon ^{3}}},\end{aligned}}$

en observant que le rapport ${\frac {u}{\varepsilon }}$ est indépendant de $x$ et $y,$ et désignant par $\lambda$ et $\lambda '$ les mêmes rayons de courbure positifs ou négatifs que précèdemment (n^o 23). Je remets aussi pour $\mathrm {U}$ sa valeur ${\frac {\varepsilon ^{4}\mathrm {R} }{\varpi ^{2}\varpi '^{2}r}}\,;$ je change l’ordre des caractéristiques $d$ et $\sum$ dans les valeurs de $\mathrm {T} _{2}$ et $\mathrm {T} '_{2},$ ce qui est permis ; et en faisant pour abréger

$-{\frac {\pi }{2}}\sum {\frac {u^{3}\varepsilon \mathrm {R} }{\varpi ^{2}\varpi '^{2}r}}=h,\qquad (5)$

il vient définitivement

$\mathrm {T} _{1}={\frac {dh}{dx}},\qquad \mathrm {T} '_{2}={\frac {dh}{dy}},\qquad \mathrm {N} _{2}=h\left({\frac {1}{\lambda }}+{\frac {1}{\lambda '}}\right).\qquad (6)$