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${\frac {d^{n+1}\mathrm {X} }{dx^{n+1}}}=0,\quad {\text{ou}}\quad e^{x}-ba^{n+1}e^{ax}=0,$

il en résulte

${\begin{aligned}&{\frac {d^{n}\mathrm {X} }{dx^{n}}}=-b(1-a)a^{n}e^{ax},\\&{\frac {d^{n+2}\mathrm {X} }{dx^{n+2}}}=b(1-a)a^{n+1}e^{ax},\end{aligned}}$

et par conséquent

${\frac {d^{n}\mathrm {X} }{dx^{n}}}{\frac {d^{n+2}\mathrm {X} }{dx^{n+2}}}=-b^{2}(1-a)a^{2n+1}e^{2ax},$

quantité négative pour toute valeur réelle de $x.$ Donc toute racine réelle de l’équation intermédiaire ${\frac {d^{n+1}\mathrm {X} }{dx^{n+1}}}=0,$ étant substituée dans les deux équations adjacentes ${\frac {d^{n}\mathrm {X} }{dx^{n}}}=0$ et ${\frac {d^{n+2}\mathrm {X} }{dx^{n+2}}}=0,$ donnera des résultats de signe contraire ; donc d’après la règle de M. Fourier, l’équation $e^{x}-be^{ax}=0,$ et toutes celles qui s’en déduisent par la différentiation, devraient avoir toutes leurs racines réelles ; et, au contraire, chacune de ces équations a une seule racine réelle et une infinité de racines imaginaires, comprises sous la forme :

$x={\frac {\log .ba^{n}+2i\pi {\sqrt {-1}}}{1-a}},$

$\pi$ désignant le rapport de la circonférence au diamètre, et $i$ étant un nombre entier ou zéro.

Les règles relatives au nombre de racines réelles des équations algébriques, se démontrent par la considération des courbes paraboliques dont les équations sont

$y={\frac {d^{n}\mathrm {\mathrm {X} } }{dx^{n}}}$