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les valeurs de $u,v,\ldots \psi$ à celles que déterminent les formules

(18)

$u=\mu ,\qquad v=\nu ,\ldots \qquad \psi =f_{0}(\mu ,\nu ,\varpi \ldots ).$

On devra donc alors intégrer les équations simultanées (15) et (16), de manière que les conditions (18) soient remplies pour $t=t_{0}.$

Pour appliquer à un exemple fort simple les principes que nous venons d’établir, supposons qu’il s’agisse d’intégrer l’équation

$x{\frac {d\varphi }{dx}}+y{\frac {d\varphi }{dy}}+\ldots +t{\frac {d\varphi }{dt}}-a\varphi =0.$

de manière que l’on ait $\varphi =f_{0}(x,y,z\ldots )$ pour $t=0.$ Dans ce cas particulier on trouvera

${\begin{alignedat}{5}\mathrm {X} =&x,\quad &\mathrm {Y} =&y,\quad &\mathrm {T} =&t,\quad &\mathrm {K} =&-a,\quad &f(x,y,\ldots t)=&0,\\\mathrm {U} =&u,&\mathrm {V} =&v,&\mathrm {W} =&t,&\mathrm {S} =&-a,&f(u,v,\ldots t)=&0\,;\end{alignedat}}$

et par suite les équations (15) et (16) deviendront

$u-t{\frac {du}{dt}}=0,\qquad v-t{\frac {dv}{dt}}=0,\quad {\text{etc}}\ldots$

$-(a+n)\psi +t{\frac {d\psi }{dt}}=0.$

En intégrant celles-ci de manière que les conditions (18) soient vérifiées pour $t=1,$ on trouvera

$u=\mu t,\qquad v=\nu t,\ldots \psi =t^{a+n}f_{0}(\mu ,\nu \ldots ),$

Cela posé, la formule (10) donnera