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${\begin{aligned}\varphi =&\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}t^{a+n}\iiint \ldots e^{\alpha (x-\mu t){\sqrt {-1}}}e^{\beta (y-\nu t){\sqrt {-1}}}\ldots f_{0}(\mu ,\nu \ldots )d\alpha d\mu d\beta d\nu \ldots \\=&t^{a}.\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\iiint \ldots e^{\alpha (x-\mu ){\sqrt {-1}}}e^{\beta (y-\nu ){\sqrt {-1}}}\ldots f_{0}\left({\frac {\mu }{t}},{\frac {\nu }{t}}\ldots \right)d\alpha d\mu d\beta d\nu \ldots \\&\qquad \qquad =t^{a}f_{0}\left({\frac {x}{t}},{\frac {y}{t}},\ldots \right),\end{aligned}}$

ce qui est exact.

Comme toute équation aux différences partielles du premier ordre peut être remplacée par une équation linéaire du même ordre qui renferme un plus grand nombre de variables, il est clair que la méthode précédente peut être appliquée à l’intégration de toutes les équations aux différences partielles du premier ordre.

En appliquant la même méthode à l’équation linéaire la plus générale du second ordre et à coefficients variables, et présentant cette équation sous la forme

${\begin{aligned}\mathrm {K} \varphi +{\frac {d^{2}(\mathrm {P} \varphi )}{dx^{2}}}&+{\frac {d^{2}(\mathrm {Q} \varphi )}{dx\,dt}}+{\frac {d^{2}(\mathrm {R} \varphi )}{dt^{2}}}\\&+{\frac {d(\mathrm {X} \varphi )}{dx}}+{\frac {d(\mathrm {T} \varphi )}{dt}}=f(x,t),\end{aligned}}$

on reconnaît qu’on peut toujours disposer de la fonction $f(x,t),$ de manière à la rendre intégrable.

Exemple. On intègre par cette méthode l’équation

$2{\frac {d^{2}(x^{2}\varphi )}{dx^{2}}}+3{\frac {d^{2}(xt\varphi )}{dx\,dt}}+{\frac {d^{2}(t^{2}\varphi )}{dt^{2}}}=0,$

et on trouve pour son intégrale

$\varphi ={\frac {1}{t^{3}}}\left[f_{0}\left({\frac {x}{t}}\right)+f_{1}\left({\frac {x}{t^{2}}}\right)\right].$