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on trouvera

(2)

$\varphi (x_{1})+\varphi (x_{2})+\ldots +\varphi (x_{m})=m\varphi (a)$

$+{\frac {1}{1.2.3\ldots (m-1)}}{\frac {d^{m-1}\left\{\varphi '(a).\operatorname {f} (a)\right\}}{da^{m-1}}}+{\frac {\frac {1}{2}}{1.2.3\ldots (2m-1)}}{\frac {d^{2m-1}\left\{\varphi '(a).\left[\operatorname {f} (a)\right]^{2}\right\}}{da^{2m-1}}}$

$+{\frac {\frac {1}{3}}{1.2.3\ldots (3m-1)}}{\frac {d^{3m-1}\left\{\varphi '(a).\left[\operatorname {f} (a)\right]^{3}\right\}}{da^{3m-1}}}+{\text{etc}}.\,;$

et il est clair que le terme général de la série comprise dans le second membre de l’équation (2), savoir,

(3)

${\frac {\frac {1}{n}}{1.2.3\ldots (n\,m-1)}}{\frac {d^{n\,m-1}\left\{\varphi '(a).\left[\operatorname {f} (a)\right]^{n}\right\}}{da^{n\,m-1}}},$

s’évanouira, dès que le nombre $n\,m-1$ deviendra supérieur au degré de la fonction $\varphi '(x)[\operatorname {f} (x)]^{n}.$

Si l’on pose en particulier

(4)

$(x-a)^{m}-\operatorname {f} (x)=x^{2}-2rx\cos .2z+r^{2}=(x-r)^{2}+4rx\sin .^{2}z$

$=(x+r)^{2}-4rx\cos .^{2}z,$

l’équation (2) donnera

(5)

$\varphi \left[r(\cos .2z+{\sqrt {-1}}\sin .2z\right]+\varphi \left[r\left(\cos .2z-{\sqrt {-1}}\sin .2z\right)\right]$

${\begin{aligned}=2\varphi (r)\ \ \ &-{\frac {4r}{1}}{\frac {d\left[r\varphi '(r)\right]}{dr}}\sin .^{2}z+{\frac {{\frac {1}{2}}(4r)^{2}}{1.2.3}}{\frac {d^{3}\left[r^{2}\varphi '(r)\right]}{dr^{3}}}\sin .^{4}z\\&-{\frac {{\frac {1}{3}}(4r)^{3}}{1.2.3.4.5}}{\frac {d^{5}\left[r^{3}\varphi '(r)\right]}{dr^{5}}}\sin .^{6}z+\ldots \\=2\varphi (-r)&+{\frac {4r}{1}}{\frac {d\left[r\varphi '(-r)\right]}{dr}}\cos .^{2}z-{\frac {{\frac {1}{2}}(4r)^{2}}{1.2.3}}{\frac {d^{3}\left[r^{2}\varphi '(-r)\right]}{dr^{3}}}\cos .^{4}z\\&+{\frac {{\frac {1}{3}}(4r)^{3}}{1.2.3.4.5}}{\frac {d^{5}\left[r^{3}\varphi '(-r)\right]}{dr^{5}}}\cos .^{6}z-\ldots \end{aligned}}$

En terminant le Mémoire, j’ai indiqué les moyens de composer directement l’équation qui résulte de l’élimination de