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plusieurs inconnues entre des équations algébriques. Pour y parvenir, dans le cas où l’on considère seulement deux inconnues, il suffit de résoudre les deux problèmes que nous allons énoncer.

1^er Problème. $\operatorname {F} (x)$ désignant une fonction entière du degré $m,$ et $x_{1},x_{2},\ldots x_{m}$ les racines de l’équation

(6)

$\operatorname {F} (x)=0,$

on demande la somme $\mathrm {S} _{n}$ déterminée par la formule

(7)

$\mathrm {S} _{n}=x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+\ldots +x_{m}^{n}.$

Solution. Concevons que le coefficient de $x^{m}$ dans $\operatorname {F} (x)$ ait été réduit à l’unité ; posons, pour abréger

(8)

$\operatorname {F} (x)=x^{m}-\operatorname {f} (x),$

et désignons par $k$ un nombre entier quelconque. Les deux expressions

${\frac {\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} (x)}}\left\{x^{mk}-\left[\operatorname {f} (x)\right]^{k}\right\}=\operatorname {F} '(x){\frac {x^{mk}-\left[\operatorname {f} (x)\right]^{k}}{x^{m}-\operatorname {f} (x)}},$

seront des fonctions entières de $x,$ la première d’un degré inférieur à $m,$ la seconde du degré $mk-1.$ De plus, on aura évidemment

(9)

${\frac {\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} (x)}}={\frac {1}{x-x_{1}}}+{\frac {1}{x-x_{2}}}+\ldots +{\frac {1}{x-x_{m}}}$

$={\frac {m}{x}}+{\frac {\mathrm {S} _{1}}{x^{2}}}+{\frac {\mathrm {S} _{2}}{x^{3}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {S} _{n}}{x^{n+1}}}+{\frac {1}{x^{n+1}}}\left[{\frac {x_{1}^{n+1}}{x-x_{1}}}+\ldots +{\frac {x_{m}^{n+1}}{x-x_{m}}}\right],$

et l’on en conclura