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place le nombre entier entier $n$ par un nombre entier plus petit, on en tirera, en ayant égard à l’équation identique $\operatorname {F} '(x)=mx^{m-1}-\operatorname {f} '(x),$

(14)

$\left\{{\begin{aligned}&\qquad \qquad \varphi (x_{1})+\varphi (x_{2})+\ldots +\varphi (x_{m})=\\&{\frac {1}{1.2.3\ldots (mk-1)}}{\frac {d^{mk-1}}{d\varepsilon ^{mk-1}}}\left\{\varphi (\varepsilon )\left[m\varepsilon ^{m-1}-\operatorname {f} '(\varepsilon )\right]{\frac {\varepsilon ^{mk}-\left[\operatorname {f} (\varepsilon )\right]^{k}}{\varepsilon ^{m}-\operatorname {f} (\varepsilon )}}\right\},\end{aligned}}\right.$

$k$ désignant toujours un nombre entier égal ou supérieur à $n+1.$ En développant le second membre de la formule (14), et supprimant les termes qui se détruisent mutuellement, on en conclura

(15)

$\varphi (x_{1})+\ldots +\varphi (x_{m})=m\varphi (0)$

$+{\frac {1}{1.2.3\ldots (m-1)}}{\frac {d^{m-1}\left[\varphi '(\varepsilon ).\operatorname {f} (\varepsilon )\right]}{d\varepsilon ^{m-1}}}+{\frac {\frac {1}{2}}{1.2.3\ldots (2m-1)}}{\frac {d^{2m-1}\left[\varphi '(\varepsilon ).\operatorname {f} (\varepsilon )\right]^{2}}{d\varepsilon ^{2m-1}}}$

$+{\frac {\frac {1}{3}}{1.2.3\ldots (3m-1)}}{\frac {d^{3m-1}\left[\varphi '(\varepsilon ).\operatorname {f} (\varepsilon )\right]^{3}}{d\varepsilon ^{3m-1}}}+{\text{etc}}.$

Corollaire 3. Si l’on supposait la fonction $\operatorname {F} (x)$ déterminée, non par l’équation (8), mais par la suivante

(16)

$\operatorname {F} (x)=(x-a)^{m}-\operatorname {f} (x),$

alors il faudrait à la formule (14) substituer celle-ci

(17)

$\left\{{\begin{aligned}&\varphi (x_{1})+\ldots +\varphi (x_{m})={\frac {1}{1.2.3\ldots (mk-1)}}{\frac {d^{mk-1}}{d\varepsilon ^{mk-1}}}\\&\qquad \times \left\{\varphi (a+\varepsilon )\left[m\varepsilon ^{m-1}-\operatorname {f} '(a+\varepsilon )\right]{\frac {\varepsilon ^{mk}-\left[\operatorname {f} (a+\varepsilon )\right]^{k}}{\varepsilon ^{m}-\operatorname {f} (\varepsilon )}}\right\}.\end{aligned}}\right.$

En développant le second membre de cette dernière on retrouvera l’équation (2).

2^e Problème. Étant données les sommes

(18)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {S} _{1}=&x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{m},\qquad \mathrm {S} _{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{m}^{2},{\text{etc}}\ldots \\\mathrm {S} _{m}=&x_{1}^{m}+x_{2}^{m}+\ldots +x_{m}^{m},\end{aligned}}\right.$

on demande la valeur du produit $x_{1},x_{2},\ldots x_{m}.$