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ces formules suffira pour déterminer la valeur du produit

(23)

$\varphi (x_{1}).\varphi (x_{2})\ldots \varphi (x_{m})\,;$

quand on connaîtra les valeurs des sommes

${\begin{aligned}&\varphi (x_{1})+\varphi (x_{2})+\ldots +\varphi (x_{m}),\\&\left[\varphi (x_{1})\right]^{2}+\left[\varphi (x_{2})\right]^{2}+\ldots +\left[\varphi (x_{m})\right]^{2},\\&{\text{etc}}\ldots \\&\left[\varphi (x_{1})\right]^{m}+\left[\varphi (x_{2})\right]^{m}+\ldots +\left[\varphi (x_{m})\right]^{m}.\end{aligned}}$

Or, ces mêmes sommes pouvant être facilement calculées à l’aide du premier problème, quand on connaît les fonctions $\varphi (x)$ et $\operatorname {F} (x),$ nous devons conclure que, ces fonctions étant données on formera sans peine le produit (23). D’ailleurs, lorsque les fonctions $\varphi (x)$ et $\operatorname {F} (x)$ renferment avec la variable $x,$ d’autres variables $y,z\ldots ,$ le produit (23), est précisément le premier membre de l’équation qui résulte de l’élimination de $x$ entre les deux suivantes,

(24)

$\varphi (x)=0,\qquad \operatorname {F} (x)=0.$

Au reste, la méthode d’élimination que nous venons d’indiquer, diffère peu de celle qui a été donnée par Lagrange dans les Mémoires de l’Académie de Berlin, pour l’année 1769, et qui est également fondée sur la solution des problèmes 1 à 2.