1er Théorème. Concevons, pour fixer les idées, qu’il s’agisse de déterminer les moments d’inertie principaux d’un corps. Pour obtenir les limites des trois racines de l’équation qui sert à déterminer ces moments, il suffira de supprimer dans cette équation les termes qui s’évanouiraient si l’un des axes coordonnés coïncidait avec l’un des axes principaux. Alors on obtiendra une nouvelle équation qui sera immédiatement divisible par un facteur du premier degré, et pourra être ainsi réduite à une équation du second degré dont les deux racines seront réelles. Soient ces deux dernières racines, rangées par ordre de grandeur. Si, dans l’équation proposée on substitue successivement à la variable les quatre valeurs
on obtiendra quatre résultats alternativement positifs et négatifs. Donc la proposée aura trois racines réelles, l’une inférieure à la quantité l’autre comprise entre les limites la troisième supérieure à
La démonstration de ce théorèmene présente aucune espèce de difficulté. Ajoutons qu’il se trouve compris comme cas particulier dans un autre théorème plus général, et que je vais indiquer.
2e Theorème. Si l’on nomme la somme des carrés de variables indépendantes et une fonction homogène du second degré, composéc avec ces mêmes variables, et si l’on cherche les valeurs maximum ou minimum du rapport la détermination de ces valeurs dépendra d’une équation du nme degré dont toutes les racines sont réelles.
