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et

(1)

$\varphi =\omega ''-\omega '-(\sigma ''-\sigma ')\left[{\frac {1}{2}}\varepsilon \cos .\lambda -{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\cos .\lambda \left(6+\sin .^{2}\lambda \right)\right]$

$+{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\sin .^{2}\lambda \cos .\lambda \left[{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma ''-{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma '\right]\,;$

c’est l’expression analytique de la différence de longitude donnée. On en tire $\mu =\omega ''-\omega '$ ou la différence de longitude sur la sphère inscrite, savoir :

(2)

$\mu =\varphi +(\sigma ''-\sigma ')\left[{\frac {1}{2}}\varepsilon \cos .\lambda -{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\cos .\lambda \left(6+\sin .^{2}\lambda \right)\right]$

$-{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\sin .^{2}\lambda \cos .\lambda \left[{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma ''-{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma '\right]\,;$

ainsi en désignant par $\sigma$ tous les termes en $\varepsilon ,$ on a

$\mu =\varphi +\sigma ,$

et le triangle sphérique correspondant donne, en appelant $z'$ l’angle formé par la ligne géodésique et le méridien de $\lambda ',$

(3)

$\operatorname {tang} .z'={\frac {\sin .(\varphi +\sigma )}{\cos .\lambda '\operatorname {tang} .\lambda ''-\sin .\lambda '\cos .(\varphi +\sigma )}}.$

On voit donc que si $\mathrm {Z}$ est la valeur de $z'$ lorsque $\sigma =0,$ on aura, d’après la série de Maclaurin,

$z'=\mathrm {Z} +\left({\frac {dz'}{d\sigma }}\right)\sigma ++\left({\frac {d^{2}z'}{d\sigma ^{2}}}\right){\frac {\sigma ^{2}}{2}}+\ldots +$

Pour tirer de (3) la valeur des coefficients différentiels, on prendra d’abord celle de $\operatorname {tang} .\lambda '',$ ensuite on la différenciera ; et après avoir fait $\sigma =0,$ on trouvera

$\left({\frac {dz'}{d\sigma }}\right)=\mathrm {M=\cot .\varphi \sin .Z\cos .Z-\sin .\lambda '\sin .^{2}Z} ,$

puisque $z'$ se change en $\mathrm {Z} \,;$ et alors

(3')

$\operatorname {tang} .\mathrm {Z} ={\frac {\sin .\varphi }{\cos .\lambda '\operatorname {tang} .\lambda ''-\sin .\lambda '\cos .\varphi }},$