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dans laquelle $y$ et $z$ ont les mêmes valeurs que ci-dessus. Appelant donc $x$ l’erreur de ce degré, on aura cette équation de condition

$\mathrm {D} -z-y\left({\frac {2+\sin .^{2}\mathrm {H} }{3}}\right)=x,$

qu’on réunira aux précédentes ; enfin désignant par de l’erreur de l’amplitude correspondante à $x,$ on aura $d\mathrm {P} =-{\frac {x}{\mathrm {D} }}\mathrm {P} .$

Lorsque l’ellipsoïde osculațeur aura été déterminé comme on l’a indiqué ci-dessus, on pourra évaluer rigoureusement la plus courte distance de deux points quelconques connus par leurs latitudes et leurs longitudes. En voici le moyen, en partant des formules fondamentales de la trigonométrie sphéroïdique données par M. Legendre.

Soient $\mathrm {H',H''} ,$ les latitudes géographiques des deux points donnés ; $\lambda ',\lambda ''$ leurs latitudes réduites ; $\varphi$ leur différence en longitude ; $\mathrm {V',V} ''$ les azimuts inconnus de la ligne géodésique $s$ cherchée, l’un compté du sud à l’ouest au point $\mathrm {H} ',$ l’autre du nord à l’est au point $\mathrm {H} ''.$ Désignons en outre par $a$ le rayon de l’équateur et par $b$ le rayon du pôle ; par $\varepsilon$ le rapport ${\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}},$ ou le carré de l’excentricité en prenant pour unité le rayon du pôle : faisons $\mathrm {U} ={\frac {s}{b}},$ et appelons $\omega ',\omega ''$ les longitudes sur la sphère inscrite, des points $\lambda ',\lambda '',$ comptées du méridien perpendiculaire au point $\lambda$ à la ligne $s\,;$ enfin désignons par $\sigma ',\sigma ''$ les parties de cette ligne sur la sphère, comprises entre le point $\lambda$ et les extrémités $\lambda ',\lambda ''.$

Cela posé, on aura p. 232 du tom. II de la Géodésie

$\operatorname {tang} .\lambda '={\frac {b}{a}}\operatorname {tang} .\mathrm {H} ',\qquad \operatorname {tang} .\lambda ''={\frac {b}{a}}\operatorname {tang} .\mathrm {H} '',$