![{\displaystyle k={\sqrt {\frac {2}{n}}},\qquad e^{-k^{2}}=1,\qquad \int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}-{\sqrt {\frac {2}{n}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd203ef9f6f2aca98c7ed70c48ce5db3e8ec7cd8)
ce qui réduit à
la valeur précédente de ![{\displaystyle \mathrm {X} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d402989a879b09601b3d7bda7617d43b609525c8)
(7) De l’équation
on tire
![{\displaystyle x=(n+1)p,\qquad n+1-x=(n+1)q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe8e9064693381d0a84d3243aed5b357feb72ed)
à cause de
Désignons par
une quantité positive, telle que cette valeur de
diminuée de
soit un nombre entier ; nous pourrons prendre
![{\displaystyle x=(n+1)p-z,\qquad n+1-x=(n+1)q+z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf39713d8d354fbece5637e50c0f7246bf33c24d)
et nous aurons
En développant le second inembre de l’équation (6) suivant les puissances de
on trouve
![{\displaystyle k^{2}={\frac {z^{2}}{2(n+1)pq}}\left(1-{\frac {(p-q)z}{3pq(n+1)}}+{\text{etc}}.\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33c6199d4fea3c056fe8fd7e567bb493f6435669)
et si l’on fait
![{\displaystyle z=r{\sqrt {2(n+1)pq}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233342af96088428e18fd12051df0b281233b15c)
on en déduit
![{\displaystyle k=r\left(1-{\frac {(p-q)r}{3{\sqrt {2(n+1)pq}}}}+{\text{etc}}.\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/747f5e5919610d834aec23b3b8aa8650258358ec)
La série comprise entre les parenthèses procède suivant les puissances de
elle sera très-convergente si
n’est pas un très-grand nombre, et qu’aucune des deux fractions
et
ne soit très-petite ; on pourra alors ne conserver que ses deux premiers termes, ou prendre simplement
en faisant,
![{\displaystyle {\frac {(p-q)r^{2}}{3{\sqrt {2(n+1)pq}}}}=\delta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc617e13b0d1c196f5bad7667b399d9bc9d0f8f2)