Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 9.djvu/503

On aura, en même temps,

$x=(n+1)p-r{\sqrt {2(n+1)pq}}\,;$

mais dans le second terme de la première formule (10), il suffira de faire $k=r$ et $x=np\,;$ et cette formule deviendra

$\mathrm {X} ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{r-\delta }^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {(1+p){\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi npq}}}}e^{-r^{2}}.$

Désignons par $r'$ une autre quantité positive, qui ne soit pas non plus un très-grand nombre. Si l’on suppose qu’on ait

$x=(n+1)p+r'{\sqrt {2(n+1)pq}},$

la valeur correspondante de $k,$ tirée de l’équation (6), sera $k=r'+\delta ',$ en faisant, pour abréger,

${\frac {(p-q)r'^{2}}{3{\sqrt {2(n+1)pq}}}}=\delta '.$

On aura, dans ce cas, ${\frac {p}{q}}<h\,;$ il faudra donc employer la seconde formule (10), qui deviendra

$\mathrm {X} =1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{r'+\delta '}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {(1+p){\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi npq}}}}e^{-r'^{2}}.$

Si l’on retranche de celle-ci, la précédente valeur de $\mathrm {X} ,$ et qu’on appelle $\mathrm {U}$ la différence, il vient

${\begin{aligned}\mathrm {U} =1&-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{r-\delta }^{\infty }e^{-t^{2}}dt-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{r'+\delta '}^{\infty }e^{-t^{2}}dt\\&+{\frac {(1+p){\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi npq}}}}\left(e^{-r'^{2}}-e^{-r^{2}}\right),\end{aligned}}$