|
|
(13)
|
Si l’on eût voulu que les valeurs de
ne comprissent pas leur limite inférieure, il aurait fallu faire
et la valeur de
ne renfermerait pas son dernier terme. De même pour que la limite supérieure de ces valeurs de
en fût exclue, on aurait dû diminuer
de
ce qui aurait encore fait disparaître le dernier terme de
Il s’ensuit donc que ce dernier terme doit être la probabilité que l’on ait précisément
![{\displaystyle x=\mathrm {N} +u{\sqrt {2(n+1)pq}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc294bb53632a8b9793c3fcb76ccc934ed185f03)
étant une quantité positive ou négative, telle que le second terme de
soit très-petit par rapport au premier. C’est aussi ce qui résulte de la formule (1).
En effet, en négligeant les quantités de l’orde de
on aura
![{\displaystyle {\frac {x}{n}}=p+u{\sqrt {\frac {2pq}{n}}},\qquad {\frac {n-x}{n}}=q-u{\sqrt {\frac {2pq}{n}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc83862da4304750cf1036626f6c5376b7a1ee6)
d’où l’on conclut
![{\displaystyle {\begin{aligned}\log .\left({\frac {np}{x}}\right)^{x}\left({\frac {nq}{n-x}}\right)^{n-x}=&-x\log .\left(1+{\frac {u}{p}}{\sqrt {\frac {2pq}{n}}}\right)\\&-(n-x)\log .\left(1+{\frac {u}{q}}{\sqrt {\frac {2pq}{n}}}\right)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04aeb4496e41737b1b7bb06b3741db89cff14913)
en développant ces logarithmes et réduisant, on trouve, au degré d’approximation où nous nous arrêtons,
pour la valeur du second membre de cette équation ; on aura par conséquent