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$\mathrm {U} =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {e^{-u^{2}}}{\sqrt {2\pi npq}}}.$

(13)

Si l’on eût voulu que les valeurs de $x$ ne comprissent pas leur limite inférieure, il aurait fallu faire $r-\delta =n+\varepsilon ,$ et la valeur de $\mathrm {X}$ ne renfermerait pas son dernier terme. De même pour que la limite supérieure de ces valeurs de $x,$ en fût exclue, on aurait dû diminuer $r'+\delta '$ de ${\frac {1}{\sqrt {2pq(n+1)}}},$ ce qui aurait encore fait disparaître le dernier terme de $\mathrm {U} .$ Il s’ensuit donc que ce dernier terme doit être la probabilité que l’on ait précisément

$x=\mathrm {N} +u{\sqrt {2(n+1)pq}}\,;$

$u$ étant une quantité positive ou négative, telle que le second terme de $x$ soit très-petit par rapport au premier. C’est aussi ce qui résulte de la formule (1).

En effet, en négligeant les quantités de l’orde de ${\frac {1}{n}},$ on aura

${\frac {x}{n}}=p+u{\sqrt {\frac {2pq}{n}}},\qquad {\frac {n-x}{n}}=q-u{\sqrt {\frac {2pq}{n}}}\,;$

d’où l’on conclut

${\begin{aligned}\log .\left({\frac {np}{x}}\right)^{x}\left({\frac {nq}{n-x}}\right)^{n-x}=&-x\log .\left(1+{\frac {u}{p}}{\sqrt {\frac {2pq}{n}}}\right)\\&-(n-x)\log .\left(1+{\frac {u}{q}}{\sqrt {\frac {2pq}{n}}}\right)\,;\end{aligned}}$

en développant ces logarithmes et réduisant, on trouve, au degré d’approximation où nous nous arrêtons, $-u^{2}$ pour la valeur du second membre de cette équation ; on aura par conséquent