pour la probabilité que l’événement
arrivera un nombre de fois qui n’excédera pas la seconde valeur de
et surpassera la première au moins d’une unité.
(8) Pour simplifier ce résultat, soit
le plus grand nombre entier contenu dans
et
une fraction telle que l’on ait
désignons par
une quantité telle que
soit un nombre entier, très-petit par rapport à
faisons ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}p+f-r\;{\sqrt {2(n+1)pq}}&=-u{\sqrt {2(n+1)pq}}-1,\\p+f+r'{\sqrt {2(n+1)pq}}&=u{\sqrt {2(n+1)pq}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c929493ace3bfa5ee65de3e7f83a23c87ece84a)
exprimera la probabilité que le nombre de fois dont il s’agit sera contenu entre les limites
![{\displaystyle \mathrm {N} \pm u{\sqrt {2(n+1)pq}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/837d2ceacf204102e878385db929f6b48a623d10)
équidistantes de
ou qu’il sera égal à l’une d’elles. Les valeurs de
et
seront de la forme :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&r-\delta =u+\varepsilon +{\frac {1}{\sqrt {2(n+1)pq}}},\\&r'+\delta '=u-\varepsilon \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f55a0e22eef9824dba017ee35ba4a349cb1d730a)
étant une quantité de l’ordre de
Or, en désignant par
une quantité de cet ordre, dont on néglige le carré, on a
![{\displaystyle \int _{u+v}^{\infty }e^{-t^{2}}dt=\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt-e^{-u^{2}}v\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/019b172c925dbe1869de62ade2983898adb8b8b3)
si donc on applique cette transformation aux deux intégrales que renferme
et si l’on fait
dans les termes compris hors du signe
qui sont déjà divisés par
on aura