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$u=3,$ et d’après laquelle, on a

$\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt=0{,}000019577,$

pour $u=3.$ Au moyen de l’intégration par partie, on trouve

$\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt={\frac {e^{-u^{2}}}{2u}}\left(1-{\frac {1}{2u^{2}}}+{\frac {1.3}{2^{2}u^{4}}}+{\frac {1.2.3}{2^{3}u^{6}}}+{\text{etc}}.\right)\,;$

(14)

pour $u>3,$ la série comprise entre les parenthèses sera sufsamment convergente, et cette formule pourra servir à calculer les valeurs de l’intégrale. On a aussi

$\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}-\int _{0}^{u}e^{-t^{2}}dt\,;$

et en développant l’exponentielle $e^{-t^{2}}$ suivant les puissances de $t^{2},$ on aura

$\int _{0}^{u}e^{-t^{2}}dt=u-{\frac {u^{3}}{1.3}}+{\frac {u^{5}}{1.2.5}}-{\frac {u^{7}}{1.2.3.7}}+{\text{etc}}.\,;$

série qui sera très-convergente pour les valeurs de $u$ moindres que l’unité.

Si l’on veut calculer la valeur de $u$ pour laquelle on a $\mathrm {U} ={\frac {1}{2}},$ on fera usage de cette dernière série, et d’après l’équation (13), on aura

$u-{\frac {u^{3}}{1.3}}+{\frac {u^{5}}{1.2.5}}-{\frac {u^{7}}{1.2.3.7}}+{\text{etc}}.={\frac {1}{4}}{\sqrt {\pi }}+{\frac {e^{-u^{2}}}{2{\sqrt {2npq}}}}.$

En désignant par $a$ la valeur de $u$ qui satisfait à cette équation, abstraction faite du deuxième terme de son second