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titude, entre des limites qui s’écartent aussi très peu de ${\frac {s}{m}},$ cependant, toutes choses d’ailleurs égales, le nombre de fois que $\mathrm {A}$ arrivera sera renfermé entre des limites moins étroites que celles qui auraient lieu s’il était certain qu’on eût $p={\frac {s}{m}}.$ On pourra alors supprimer le dernier terme de la valeur de $\mathrm {U} ,$ qui sera de l’ordre de ${\frac {1}{\sqrt {m}}},$ et prendre simplement

$\mathrm {U} =1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt.$

(h)

C’est aussi à cela que se réduit la formule (13) quand on néglige son dernier terme ; mais les limites auxquelles elle répond sont plus resserrées dans le rapport de ${\sqrt {1+\alpha ^{2}}}$ à l’unité, ou de ${\sqrt {m+n}}$ à ${\sqrt {m}},$ que les limites (g) relatives au cas dont nous nous occupons maintenant.

(17) Dans les applications qu’on fera, des résultats précédents, on ne devra pas perdre de vue la supposition sur laquelle ils sont fondés, que l’événement simple $\mathrm {A}$ est toujours le même, en entendant par là que sa probabilité inconnue $p$ demeure invariable pendant toutes les épreuves passées et futures. Supposons, par exemple, que l’on ait une urne qui contienne un nombre inconnu et considéré comme infini, de boules blanches et de boules noires, et que l’événement $\mathrm {A}$ soit l’arrivée d’une boule blanche. Sa probabilité $p$ sera le rapport du nombre de boules blanches au nombre total ; elle sera inconnue,lorsque la proportion des deux espèces de boules ne sera aucunement donnée ; et de plus, $p$ sera susceptible de toutes les valeurs possibles , depuis zéro jusqu’à l’unité, à cause du nombre de boules supposé infini. Par la