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et comme on a

$\int _{-k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt={\sqrt {\pi }}-\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt,$

cette valeur de $\mathrm {T}$ sera la même chose que

${\begin{aligned}\mathrm {T} &={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-z}^{0}e^{-\theta ^{2}}\Theta d\theta +{\frac {\lambda '}{\pi }}\int _{-z}^{z}e^{-\left(\theta ^{2}+k^{2}\right)}\Theta d\theta \\&+{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{z}\left(\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt\right)e^{-\theta ^{2}}\Theta d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{-z}^{0}\left(\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt\right)e^{-\theta ^{2}}\Theta d\theta .\end{aligned}}$

En faisant pour un moment

${\sqrt {\frac {2m(m-1)}{m^{3}}}}=f,$

nous aurons

$p+\omega ={\frac {s'}{m'}}+\theta f,\qquad q-\omega ={\frac {m'-s'}{m'}}-\theta f,$

et par conséquent

${\begin{aligned}\log .{\frac {m'(p+\omega )}{s'}}&={\frac {m'f}{s'}}\theta -{\frac {m'^{2}f^{2}}{2s'^{2}}}\theta ^{2}+{\frac {m'^{3}f^{3}}{3s'^{3}}}\theta ^{3}-{\text{etc}}.,\\\log .{\frac {m'(q-\omega )}{m'-s'}}&={\frac {m'f}{m'-s'}}\theta -{\frac {m'^{2}f^{2}}{2(m'-s')^{2}}}\theta ^{2}+{\frac {m'^{3}f^{3}}{3(m'-s')^{3}}}\theta ^{3}-{\text{etc}}.\,;\end{aligned}}$

d’où l’on conclut, en vertu de l’équation (m),

$k^{2}={\frac {m'^{3}f^{2}}{2(m'-s')}}\theta ^{2}-{\frac {(m'-2s')m'^{4}f^{3}}{3s'^{2}(m'-s')^{2}}}\theta ^{3}+{\text{etc}}.$

Les coefficients de cette série, à partir du second, sont de l’ordre de ${\frac {1}{\sqrt {m'}}},{\frac {1}{m'}},$ etc.; en continuant donc de négliger les quantités de l’ordre de ${\frac {1}{m'}},$ faisant, pour abréger,