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${\frac {m'^{3}s(m-s)}{m^{3}s'(m'-s')}}=\mu ^{2},$

et considérant $\mu$ comme une quantité positive, il en résultera

$k=\mu \theta (1-\mu \lambda '\theta ),\quad {\text{ou}}\quad k=-\mu \theta (1-\mu \lambda '\theta ),$

selon que la variable $\theta$ sera positive ou négative, afin que la valeur de $k$ soit toujours positive. Il faudra donc employer la première valeur de $k$ dans le troisième terme de $\mathrm {T} ,$ et la seconde dans le quatrième terme ; au degré d’approximation où nous nous arrêtons, on a d’ailleurs

$\int _{\pm \mu \theta (1-\mu \lambda '\theta )}^{\infty }e^{-t^{2}}dt=\int _{\pm \mu \theta }^{\infty }e^{-t^{2}}dt\pm \mu ^{2}\lambda '\theta ^{2}e^{-\mu ^{2}\theta ^{2}}\,;$

cela étant, nous aurons

${\begin{aligned}\mathrm {T} &={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-z}^{0}e^{-\theta ^{2}}\Theta d\theta +{\frac {\lambda '}{\pi }}\int _{-z}^{z}e^{-\theta ^{2}\left(1+\mu ^{2}\right)}\left(1+\mu ^{2}\theta ^{2}\right)\Theta d\theta \\&+{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{z}\left(\int _{\mu \theta }^{\infty }e^{-t^{2}}dt\right)e^{-\theta ^{2}}\Theta d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{-z}^{0}\left(\int _{-\mu \theta }^{\infty }e^{-t^{2}}dt\right)e^{-\theta ^{2}}\Theta d\theta \,;\end{aligned}}$

et, après qu’on y aura mis pour $\Theta$ sa valeur, cette expression de $\mathrm {T}$ pourra s’écrire ainsi

${\begin{aligned}\mathrm {T} ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-\theta ^{2}}d\theta &-{\frac {2\lambda }{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-\theta ^{2}}\theta ^{3}d\theta +{\frac {2\lambda '}{\pi }}\int _{0}^{z}e^{-\theta ^{2}\left(1+\mu ^{2}\right)}\left(1+\mu ^{2}\theta ^{2}\right)d\theta \\&+{\frac {4\lambda }{\pi }}\int _{0}^{z}\left(\int _{\mu \theta }^{\infty }e^{-t^{2}}dt\right)e^{-\theta ^{2}}\theta ^{3}d\theta .\end{aligned}}$

Je mets, dans le dernier terme, $\mu \theta t$ et $\mu \theta dt$ sous le signe $\int$