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${\frac {s'}{m'}}-{\frac {s}{m}}=0{,}0044.$

Il y a donc un contre un à parier que la probabilité d’une naissance masculine est plus grande parmi les enfants naturels que parmi les enfants légitimes, d’au moins $0{,}0015$ dans la ville de Paris, et d’au moins $0{,}0044$ dans la France entière.

(24) Lorsqu’on aura ${\frac {s'}{m'}}={\frac {s}{m}},$ la formule (n) exprimera la probabilité que $p'$ surpasse $p.$ Dans cette hypothèse, on a

$\lambda '=\lambda {\sqrt {\frac {m}{m'}}},\qquad \mu ={\sqrt {\frac {m'}{m}}},\qquad \mu \lambda '=\lambda \,;$

et la formule (n) devient

$\mathrm {T} ={\frac {1}{2}}+{\frac {(m-m')\lambda }{\sqrt {m'(m+m')}}}.$

La probabilité que la différence $p'-p$ est positive, sera donc $>$ ou $<{\frac {1}{2}},$ selon que le produit $(m-m')\lambda ,$ ou que $(m'-m)(2s-m)$ est positif ou négatif. Pour se rendre raison de ce résultat, il faut observer que dans le cas dont il est question, les valeurs de $p'$ et $p$ diffèrent très-peu l’une et l’autre, d’une même quantité ${\frac {s'}{m'}}$ ou ${\frac {s}{m}}.$ Mais d’après l’expression de $\mathrm {R}$ du n^o 21, la probabilité que $p$ est au-dessus de ${\frac {s}{m}},$ a pour valeur :

${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-\theta ^{2}}\Theta d\theta ={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\lambda ,$

en substituant l’infini à la limite $z\,;$ la probabilité que $p'$ est au-dessus de ${\frac {s'}{m'}}$ sera de même ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\lambda ',$ ou ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\lambda {\sqrt {\frac {m}{m'}}}\,;$ si