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$k'$ désignant la première valeur de $k,$ et $k_{1}$ la seconde. On a d’ailleurs

${\begin{aligned}\int _{-k_{1}}^{\infty }e^{-t^{2}}dt&={\sqrt {\pi }}-\int _{k_{1}}^{\infty }e^{-t^{2}}dt,\\\int _{k'}^{\infty }e^{-t^{2}}dt&=\mu (\theta -\alpha )\int _{1}^{\infty }e^{-t^{2}\mu ^{2}(\alpha -\theta )^{2}}dt+\lambda '\mu ^{2}(\theta -\alpha )^{2}e^{-\mu ^{2}(\alpha -\theta )^{2}}\\\int _{k_{1}}^{\infty }e^{-t^{2}}dt&=\mu (\alpha -\theta )\int _{1}^{\infty }e^{-t^{2}\mu ^{2}(\alpha -\theta )^{2}}dt-\lambda '\mu ^{2}(\alpha -\theta )^{2}e^{-\mu ^{2}(\alpha -\theta )^{2}}\end{aligned}}$

d’où l’on conclut

$\mathrm {T} ={\frac {\lambda '}{\pi }}\int _{-z}^{z}e^{-\left[\theta ^{2}+\mu ^{2}(\alpha -\theta )^{2}\right]}\left[1+\mu ^{2}(\alpha -\theta )^{2}\right]d\theta +{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-z}^{z}e^{-\theta ^{2}}\Theta dt$

$+{\frac {\mu }{\pi }}\int _{1}^{\infty }\left(\int _{-z}^{z}e^{-\left[\theta ^{2}+t^{2}\mu ^{2}(\alpha -\theta )^{2}\right]}(\theta -\alpha )\Theta d\theta \right)dt.$

On pourra maintenant remplacer $z$ par l’infini sans altérer sensiblement la valeur de $\mathrm {T} .$ Les intégrations relatives à $\theta$ et qui ont $\pm z$ pour limites, s’effectueront alors sous forme finie ; mais pour simplifier le résultat, nous négligerons les quantités de l’ordre de ${\frac {1}{\sqrt {m}}}$ ou de ${\frac {1}{\sqrt {m'}}}$ que nous avions conservées jusqu’à présent. De cette manière, le terme de $\mathrm {T}$ qui a $\lambda '$ pour facteur devra être supprimé, $\Theta$ se réduira à l’unité, et l’on aura simplement

$\mathrm {T} ={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\alpha }e^{-\theta ^{2}}d\theta +{\frac {\mu }{\pi }}\int _{1}^{\infty }\varphi dt,$

en faisant, pour abréger,