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$\varphi =\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\left[\theta ^{2}+t^{2}\mu ^{2}(\alpha -\theta )^{2}\right]}(\alpha -\theta )d\theta .$

Soit actuellement

$\theta ={\frac {\theta '}{\sqrt {1+\mu ^{2}t^{2}}}}+{\frac {\mu ^{2}t^{2}\alpha }{1+\mu ^{2}t^{2}}}\,;$

les limites relatives à $\theta '$ seront encore $\pm \infty ,$ et nous aurons

$\varphi =-{\frac {\alpha {\sqrt {\pi }}}{\left(1+\mu ^{2}t^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}e^{-{\frac {\mu ^{2}\alpha ^{2}t^{2}}{1+\mu ^{2}t^{2}}}}.$

Faisons ensuite

${\frac {\mu \alpha }{\sqrt {1+\mu ^{2}}}}=\beta ,\qquad {\frac {\mu \alpha t}{\sqrt {1+\mu ^{2}t^{2}}}}=u,\qquad {\frac {\mu \alpha dt}{(1+\mu ^{2}t^{2})^{\frac {3}{2}}}}=du\,;$

pour $t=1$ et $t=\infty ,$ on aura $u=\beta$ et $u=\alpha \,;$ il en résultera donc

$\mathrm {T} ={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\alpha }e^{-\theta ^{2}}d\theta -{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{\beta }^{\alpha }e^{-u^{2}}du,$

ou, ce qui est la même chose

$\mathrm {T} ={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\beta }e^{-t^{2}}dt.$

(o)

(26) En faisant

${\frac {2s(m-s)}{m^{3}}}=f^{2},\qquad {\frac {2s'(m'-s')}{m'^{3}}}=f'^{2},$

nous aurons

$\mu ={\frac {f'}{f}},\qquad \beta ={\frac {\alpha f}{\sqrt {f^{2}+f'^{2}}}},$

et $\mathrm {T}$ sera la probabilité l’on a