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Pour intégrer cette équation, il faut remarquer que le mouvement du fluide étant supposé uniforme, la même masse doit passer en même temps dans toutes les sections transversales ; en sorte que la quantité $\rho \omega u,$ et par conséquent $p\omega u,$ conserve pour toutes les sections une valeur constante. On a donc $p\omega u=\mathrm {P'\Omega 'U} \,;$ d'où

$u={\frac {\mathrm {P'\Omega 'U} }{p\omega }},\quad {\text{et}}\quad {\frac {du}{dt}}=-{\frac {\mathrm {P'\Omega 'U} }{p^{2}\omega ^{2}}}{\frac {d(p\omega )}{dx}}{\frac {dx}{dt}},$

(6)

puisque $\mathrm {U}$ est constante, et que $p$ et $\omega$ varient seules par l’effet du changement de la position de la tranche. Substituant cette valeur dans l’équation (5), où l’on remplacera ${\frac {dx}{dt}}$ par $u,$ ou ${\frac {\mathrm {P'\Omega 'U} }{p\omega }},$ cette équation se changera en

$k{\frac {dp}{p}}=\mathrm {P'^{2}\Omega '^{2}U^{2}} {\frac {d(p\omega )}{p^{3}\omega ^{3}}}.$

L’intégration peut maintenant être effectuée, et donne

$2k\log .p=-\mathrm {U} ^{2}{\frac {\mathrm {P'^{2}\Omega '^{2}} }{p^{2}\omega ^{2}}}+const.$

La constante se détermine en remarquant que l’on $a,$ dans la première section $\mathrm {AB} ,$ $\omega =\Omega ,$ $p=\mathrm {P} \,;$ ce qui donne

$2k\log .{\frac {\mathrm {P} }{p}}=\mathrm {U} ^{2}\left({\frac {\mathrm {P'^{2}\Omega '^{2}} }{p^{2}\omega ^{2}}}-\mathrm {\frac {P'^{2}\Omega '^{2}}{P^{2}\Omega ^{2}}} \right)\,;$

(7)

et comme, à la dernière section $\mathrm {CD} ,$ on a $\omega =\Omega ',$ $p=\mathrm {P} ',$ cette équation devient

$2k\log .\mathrm {\frac {P}{P'}} =\mathrm {U} ^{2}\left(1-\mathrm {\frac {P'^{2}\Omega '^{2}}{P^{2}\Omega ^{2}}} \right)\,;$

d’où l’on déduit, pour la valeur de la vitesse à l’orifice d’écou-