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La première a lieu toutes les fois que les nombres $i$ et $j$ sont différents, et la seconde lorsque ces nombres sont égaux.

Nous reprendrons l’équation

$\varphi x=a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+a_{3}u_{3}+\ldots +a_{i}u_{i}+\mathrm {etc.} ,$

dans laquelle il faut déterminer les coëfficients $a_{1},a_{2},a_{3},$ etc. Pour trouver un de ces coëfficients désigné par $a_{i},$ on multipliera les deux membres de l’équation par $xu_{i}dx,$ et l’on intégrera depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {R} .$ Le second membre sera réduit par cette intégration à un seul terme, et l’on aura l’équation

$2\int \left(xu_{i}\varphi xdx\right)=a_{i}\mathrm {R^{2}U} _{i}^{2}\left[1+\left({\frac {h\mathrm {R} }{2\mathrm {K} {\sqrt {\theta _{i}}}}}\right)^{2}\right].$

qui donne la valeur de $a_{i}.$ Les coëfficients $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots a_{i},$ etc., étant ainsi déterminés, la condition exprimée par l’équation

$\varphi x=a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+a_{3}u_{3}+\mathrm {etc.}$

qui se raporte à l’état initial, sera remplie.

56. Nous pouvons maintenant donner la solution complète de la question proposée. Elle est exprimée par l’équation suivante :

${\frac {v\mathrm {R} ^{2}}{2}}={\frac {\int (x\varphi x.u_{1}dx)}{\mathrm {U} _{1}^{2}\left[1+\left({\frac {h\mathrm {R} }{2\mathrm {K} {\sqrt {\theta _{1}}}}}\right)^{2}\right]}}u_{1}.e^{-2^{2}{\frac {\mathrm {K} t}{\mathrm {R} ^{2}}}\theta _{1}}$

$+{\frac {\int (x\varphi x.u_{2}dx)}{\mathrm {U} _{2}^{2}\left[1+\left({\frac {h\mathrm {R} }{2\mathrm {K} {\sqrt {\theta _{2}}}}}\right)^{2}\right]}}u_{2}.e^{-2^{2}{\frac {\mathrm {K} t}{\mathrm {R} ^{2}}}\theta _{2}}+{\text{etc}}.$

La fonction de $x$ qui est représentée par $u_{i}$ dans l’équation précédente, a pour expression