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En substituant les valeurs connues de $a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},a_{3},b_{3},$ etc., dans la valeur générale de $v,$ on aura l’équation suivante, qui contient la solution complète de la question proposée :

${\begin{aligned}{\frac {v}{4.4}}={\frac {\sin .n_{1}l\,\cos .n_{1}z}{2n_{1}l+\sin .2n_{1}l}}&\left({\frac {\sin .n_{1}l\,\cos .n_{1}y}{2n_{1}l+\sin .2n_{1}l}}.e^{-x{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{1}^{2}}}}\right.\\&\qquad \left.+{\frac {\sin .n_{2}l\cos .n_{2}z}{2n_{2}l+\sin .2n_{2}l}}e^{-x{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{1}^{2}}}}+\mathrm {etc.} \right)\\(\mathrm {E} )\qquad +{\frac {\sin .n_{2}l\,\cos .n_{2}z}{2n_{2}l+\sin .2n_{2}l}}&\left({\frac {\sin .n_{1}l\,\cos .n_{1}y}{2n_{1}l+\sin .2n_{1}l}}.e^{-x{\sqrt {n_{2}^{2}+n_{1}^{2}}}}\right.\\&\qquad \left.+{\frac {\sin .n_{2}l\cos .n_{2}z}{2n_{2}l+\sin .2n_{2}l}}e^{-x{\sqrt {n_{2}^{2}+n_{1}^{2}}}}+\mathrm {etc.} \right)\\+{\frac {\sin .n_{3}l\,\cos .n_{3}z}{2n_{3}l+\sin .2n_{3}l}}&\left({\frac {\sin .n_{1}l\,\cos .n_{1}y}{2n_{1}l+\sin .2n_{1}l}}.e^{-x{\sqrt {n_{3}^{2}+n_{1}^{2}}}}\right.\\&\qquad \left.+{\frac {\sin .n_{2}l\cos .n_{2}z}{2n_{2}l+\sin .2n_{2}l}}e^{-x{\sqrt {n_{3}^{2}+n_{1}^{2}}}}+\mathrm {etc.} \right)\\+\mathrm {etc.} \quad \qquad \qquad &\end{aligned}}$

Les quantités désignées par $n_{1},n_{2},n_{3},$ etc. sont en nombre infini, et respectivement égales aux quantités ${\frac {\varepsilon _{1}}{l}},{\frac {\varepsilon _{2}}{l}},{\frac {\varepsilon _{3}}{l}},{\frac {\varepsilon _{4}}{l}},$ etc. Les arcs $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3},\varepsilon _{4},$ etc. sont les racines de l’équation déterminée : $\varepsilon \operatorname {tang} .\varepsilon ={\frac {hl}{\mathrm {K} }}.$

Nous ajouterons à cette solution les remarques suivantes :

1^o Il est facile de connaître la nature de l’équation déterminée $\varepsilon \operatorname {tang} .\varepsilon ={\frac {hl}{\mathrm {K} }}:$ il suffit de supposer que l’on ait construit la courbe $u=\operatorname {tang} .\varepsilon .$ (fig. 8.) L’arc $\varepsilon$ étant pris pour abcisse et $u$ pour ordonnée, cette ligne est composée de branches asymptotiques. Les abcisses qui correspondent aux asymptotes sont ${\frac {1}{2}}\pi ,{\frac {3}{2}}\pi ,{\frac {5}{2}}\pi ,{\frac {7}{2}}\pi ,$ etc.; et celles qui correspondent aux points d’intersection sont, $0\pi ,2\pi ,3\pi ,$ etc. Si maintenant on élève à l’origine une ordonnée égale à la quantité connue ${\frac {h}{\mathrm {K} }}l,$ et que par l’extrémité on mène une parallèle à l’axe des abcisses, les points d’intersection donnent les racines de