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à $x=\mathrm {X} .$ En faisant les substitutions on forme l’équation

${\begin{aligned}v={\frac {2e^{-ht}}{\mathrm {X} }}&\left\{e^{-\mathrm {K} {\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X^{2}} }}t}\sin .\left(x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)\int dx\operatorname {\varphi } x\sin .\left({\frac {\pi x}{\mathrm {X} }}\right)\right.\\&+e^{-\mathrm {K} 2^{2}{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X^{2}} }}t}\sin .\left(2x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)\int dx\operatorname {\varphi } x\sin .\left(2x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)\\&+\left.e^{-\mathrm {K} 3^{2}{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X^{2}} }}t}\sin .\left(3x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)\int dx\operatorname {\varphi } x\sin .\left(3x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+{\text{etc.}}\right\}\end{aligned}}$

Il faut présentement rendre la longueur $\mathrm {X}$ infinie. Soit $\mathrm {X} =n\pi ,$ $n$ étant un nombre infini ; soit aussi $q$ une variable dont les accroissements infiniment petits $dq$ sont égaux ; désignons $n$ par ${\frac {1}{dq}}\,:$ le terme général de la série qui entre dans l’équation précédente est

$e^{-i^{2}{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X^{2}} }}t}\sin .\left(ix{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)\int dx\operatorname {\varphi } x\sin .\left(ix{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right).$

On représentera par ${\frac {q}{dq}}$ le nombre $i$ qui est variable, et devient infini. Ainsi l’on a

$\mathrm {X} ={\frac {\pi }{dq}},\quad n={\frac {1}{dq}},\quad i={\frac {q}{dq}}.$

Faisant ces substitutions dans le terme général, il devient

$e^{-\mathrm {K} q^{2}t}\sin .qx\int dx\operatorname {\varphi } x.\sin .qx.$

Chacun de ces termes doit être divisé par $\mathrm {X} ,$ ou ${\frac {\pi }{dq}}\,:$ il devient par-là une quantité infiniment petite, et la somme de la série n’est autre chose qu’une intégrale, qui doit être prise