à
En faisant les substitutions on forme l’équation
![{\displaystyle {\begin{aligned}v={\frac {2e^{-ht}}{\mathrm {X} }}&\left\{e^{-\mathrm {K} {\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X^{2}} }}t}\sin .\left(x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)\int dx\operatorname {\varphi } x\sin .\left({\frac {\pi x}{\mathrm {X} }}\right)\right.\\&+e^{-\mathrm {K} 2^{2}{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X^{2}} }}t}\sin .\left(2x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)\int dx\operatorname {\varphi } x\sin .\left(2x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)\\&+\left.e^{-\mathrm {K} 3^{2}{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X^{2}} }}t}\sin .\left(3x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)\int dx\operatorname {\varphi } x\sin .\left(3x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+{\text{etc.}}\right\}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/180bc63d8a1e6a98cd685ff2c3b3de3fbb165b78)
Il faut présentement rendre la longueur
infinie. Soit
étant un nombre infini ; soit aussi
une variable dont les accroissements infiniment petits
sont égaux ; désignons
par
le terme général de la série qui entre dans l’équation précédente est
![{\displaystyle e^{-i^{2}{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X^{2}} }}t}\sin .\left(ix{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)\int dx\operatorname {\varphi } x\sin .\left(ix{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7386c8b19532fc10d620f6589d9be226bd12095)
On représentera par
le nombre
qui est variable, et devient infini. Ainsi l’on a
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {\pi }{dq}},\quad n={\frac {1}{dq}},\quad i={\frac {q}{dq}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c579f3fdc11c985ef70b69a56e06e8362762a7eb)
Faisant ces substitutions dans le terme général, il devient
![{\displaystyle e^{-\mathrm {K} q^{2}t}\sin .qx\int dx\operatorname {\varphi } x.\sin .qx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f643c161c915616a795f568bb01a7c238f2ceb82)
Chacun de ces termes doit être divisé par
ou
il devient par-là une quantité infiniment petite, et la somme de la série n’est autre chose qu’une intégrale, qui doit être prise