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ARTSTOXÉNIEN — ARITHMÉTIQUE
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Arita, villo du Japon, île do Kiousiou (prov. do Hizen) ; 5.910 hab. Exploitaiiun «lu kaolin ; aux environs, fabrication do la por.’rlaiiH’ 'i Iin.iri.
’ ARITE n. t. Al hiM mf iiuoniure do nickel, dont la composition f>i imn iiiriii.ino entre celle de la nickelino (Ni Âs)otcoUodclabrciiliauptite(Ni Sb), ot qui a été trouvée dans les Pyrénées.
ARITHMANGIE n. f. Syn. de ARITHMOMANCIE. ARITHMÉTICIEN, ENNE (in, en’) n. Celui, celle qui connaît, qui [ir ;)ii.[ih’ 1 aiiiliini’tique : Une caissière doit être ARITHMÉTIQUE i,lat. arithmctica ; du gr. arithmêHkè, formé do arithmos, nombre) u. f. Science dos nombres, art de calculer : /.’arithmétique n’est autre chose que l’art de trouver d’une manière ahrik/ée l’expression d’un rapport unique gui résulte de la comparaison de i}lusieu7’s autre ::. (D’Alemb.)
— Se dit, par anal., de tout ce qui suppose un calcul quelconque : La musique n’est pas une expression de pensée » mais plutôt une arithmétique de tons. (De Bonald.)
— Fig. : Supputations, calculs de la pensée, de l’esprit, etc. : La morale est l’ A.RiTHMÈTiQ’UE du oon heur. {Y inet.)
— Livre qui contient les principes do l’arithémique : Acheter une arithmêtiqde.
— Arithmétique de position, Nom donné au système do numération écrite qui donne aux chiffres, outre leur valeur absolue, une valeur do position.
— Arithmétique décimale, Nom donné au système de numération ot do calcul basé sur l’éclielle décimale, c’est-à-dire sur une progression géométrique dont la raison est dix.
— Arithmétique hinaire, Nom donné au système do numération et de calcul basé sur l’échelle binaire, c’est-à-dire sur une progression géométrique dont la raison est deux.
— Arithmélique duodécimale. Nom donné au système de numération et de calcul basé sur l’échelle duodécimale.
— Arithmétique transcendante, Nom donné quelquefois à l’étude des propriétés des nombres, abstraction faite de tout système particulier de numération.
— Arithmétique politique. Nom donné aux calculs et aux procédés arithmétiques au moyen desquels l’économio fiolitique lire ses conclusions de"s résultats indiqués par a statistique, n Quelques auteurs fout de cette expression le synonyme do économie politique.
— Arithmétique palpable, Système ingénieux imaginé car le célèbre aveugle Saunderson, et au moyen duquel il taisait avec facilité les opérations les plus compliquées.
— Iconogr. Ïj Arithmétique personnitiée est représentée par une belle femme, vêtue d’une robe sur la frango de laquelle on Ut les mots : Par, ïmpar (pair, impair). Elle lient à la main un tableau chargé de .-hnli.-. i ..- ut-
niaturo de Vllortu.^ >lr- , , ii,-,.
rade do Landsberg, iii.niii > , ,i > . irhre (xii" siècle) qui apparU’iÉaiL a la i,il.liothèque de Strasbourg détruite en 1870,
représentait l’Arithmctique sous la ligure d’une femme tenant à la main un
chapelet à grains ou olives enfilées
deux fois dans leur épaisseur. L’Arithmétique est représentée, au portail de
la cathédrale de Laon, par une femme
qui compte avec des boules ; au portail de la calhédrale de Cliartres, par une
femme tenant un dragon d’une main,
un sceptre de l’autre ; au portail de la cathédrale de Reims, par une femme
qui compte sur ses doigts. A Venise,
au palais ducal, elle est représentée
par Pythagore. ii
— ÈNCYCL. I. Définition de l’arith- "^"(cathédSir’" MÉTIQUE. Méthode, n L’arithmétique de Laon). est la science des nombi^es, et le nombre est une multitude d’unités mises ensemble. » Tel est le préambule mis par Legendre à son excellent traité L’Arithmétique en sa perfection. On ne saurait concevoir de définition plus simple ni plus exacte ; il nous suffira de la développer pour montrer que la nation de nombre est expérimentale, naît do la pluralité des objeis simultanément considérés, ou de la répétition des phénomènes observés. Quelques propriétés s’en suivront immédiatement, et, si l’on veut se borner à déduire toutes les conséquences logiques des postulats, on aura constitué une science rigoureusement analytique, l’arithmétique au sens le plus large du mot.
il semble, cependant, que la seule notion de nombre entier ne puisse fournir autre chose qu’une arithmétique des nombres entiers, et auo l’on soit obligé d’emprunter à l’expérience la notion de nombre fractionnaire et de nombre irrationnel pour construire des arithmétiques corroepondantes ; c’est ainsi, en réalité, que l’on a procédé. U n’y avait aucun inconvénient à le faire, puisque la notion expérimentale du nombre irrationnel enveloppe, comme cas particulier, celle des nombres entiers ou fractionnaires, en sorte que l’ensemble se trouve cohérent et logique. Mais on peut aussi n’emprunter à l’expérience que la seule L’Arillm
notion du nombre onlier et construire une arithméti<|ue totale 01^ lus nombres fractionnaires ot irrationnels apparaîtront comme des extensions do la notion des nomorcs entiers. Tello est la méthode que nouti suivrons en indiquant, néanmoins, à. chaque nouvelle extension, de quelle faijon cllo jieut être empruntée à roxpérionco.
— II. Notion do nomure bntieu. Kgalitk. Inéga-LiTii. Doux mots étant choisis, tels que père ot fils, on peut bilfer simultanément une lettre au hasard dans chacun d’eux, puis uno autre encore... ot, à un certain moment, il no reste plus do lettre intacte dans aucun dos doux : les mots sont tels qu’on peut faire correspondre à chaque lettre de tun une lettre distincte de l’autre. Si l’on essaye la môme opération sur les mots Fir.s ot enfant, le résultat est tout autre ; le mot riLs vient à. être com-Siètement épuisé alors qu’il demeure des lettres intactes ans le mot enfant. Ainsi, en comparant deux collectivités prises au hasard, on peut les trouver corre^ondantes ou non correspondajites selon que l’opération indiquée est possible ou non. Le fait ou non de la correspondance est d’ailleurs iinir-peudruit de la position des objets. Il y a doue, -hms rmir.- illcctivité, uno qualité indépendante do l :i ii.-iMiir 1. . ..I,|r i^ ou do leur position, mais qui peut se nn-iiiiM i- . r|,iii.i,iiii si l’un ajoute ou retire quelque objet. Si 1,, ;, , i^n .inalogie, on veut concevoir une collet iii. i .i.|. non dénommés, imprécis, dont on no sait imm m .n |’i ils forment une collectivité ayant les prepihh s niiliju-.s, on donnera à cet ensemble le nom do nombre entier. Le nombre est donc abstrait ; on appelle, d’autre part, nombre concret, toute collectivité d’objets connus envisagée sous le r.ipport du nombre ; ainsi un et un et un forment un nombre abstrait que l’on appelle trois. Un franc et un franc ot un franc forment une collectivité qu’on appellera trois francs ; c’est un nomliro eonrrot.
Deux n’ m’n--^ jmi -^f^ correspondent à la façon de tout à riieuir r,’ ■ , ;(/( ; dans le cas contraire, ils sont dits i//. < ; ■ i II ;iiiquel il reste des unités intactes après kl I "I i i--|.Mh 1 iij. r établie est, par définition, le plus grand : il se compuso du plus petit augmenté do quelque chose.
Ce mode de correspondance montre encore que deux nombres égaux à un troisième sont égaux entre eux.
— III. Formation des nombres entiers. L’unité étant l’objet de la collection, on peut former un nombre, comme toute collection, en prenant une unité, puis une autre, puis une autre... ce qui s’écrit en abrégé 14-1 + 1... Il est alors manifeste que Je nombre i-fi + i-fi + i peut être formé à partir d’un nombre plus petit. 1-t-l + l par exemple, auquel nous ajouterions 1 et encore 1, ou mieux encore auquel on ajouterait immédiatement le nombre convenable 1 + 1. Au reste, ce procédé expérimental do formation des nomtires en suggère un autre : on peut prendre un nombre plus grand i-f-i-f-i + i + i + i + i auquel on enlève le nombre 1 + 1 ou bien successivement 1 et encore l. Ces deux modes constituent l’addition et la sousti^action élémentaires.
Il résulte aussi du mode indiqué que la suite des nombres entiers est illimitée ; car, un nombre quelconque étant donné, on peut en former un plus grand en lui ajoutant
— IV. Numération. La suite des nombres entiers étant formée, il restait à leur donner des noms et à trouver des symboles pratiques pour les figurer, en un mot à constituer une numération parlée et une numération écrite ; les premiers nombres de la suite ont reçu des noms spéciaux : un. deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix. Mais l’effort de mémoire serait considérable si l’on voulait persévérer quelque peu dans cette voie. Nous considérons alors les nombres suivants comme formés de dix et de quelnue chose : ce seront dîx-un, dix-deux, dix-trois... (l’usage a d’ailleurs prévalu de les nommer respectivement onze, douze... dix-sept, dix-huit, dix-neuf). Nous arrivons ainsi à dix-dix ou deux-dix que l’on appelle vingt, et l’on peut alors continuer de même en nommant vingt et un, vingtdeiLx. .. jusqu’à vingt-neuf ; le nombre suivant est « vingt-dix u ou trois fois dix que l’on appelle trente, et l’on continue de la sorte en n’affectant de nouveaux noms qu’aux divers nombres de dizaines : quarante, cinquante, soixante, septante (soixante-dix), octante (quatre-vingts), nonanlo (quatre-vingt-dix).
On voit que le nombre dix a joué un rôle important, puisque nous avons donné des noms distincts aux dix premiers nombres et considéré les suivants comme formés par des groupes de dix et un groupe inférieur à dix. Dix dizaines ou cen^ va jouer un rôle analogue, et les nombre suivants seront considérés comme formés par des groupes de cent, tels que un cent, deux cents... augmenté de quelque nombre inférieur que nous savons déjà nommer. Dix centaines recevront un nom nouveau, 7/u7fe ; tout nombre suivant sera constitué par un groupe do mille, tel que un mille, deux mille, vingt inille, quatre cent cinquante ? ïn7/e... augmenté de quelque nombre inférieur à mille que nous savons énoncer.
Mille mille forment un inUlion ; mille millions constituent un milliard ou billion ; mille miV/mrrfs font un tritlion... et ainsi de suite de mille en mille.
Pareil système, dit décimal, présente une base arbitraire, dix ; on peut au reste concevoir une infinité de systèmes de numération, par exemple en choisissant une autre base que dix. (V. numération.) Néanmoins, cette énuméralion parlée présente deux imperfections principales : l" l’usage a fait augmenter le nombre des mots employés do quelques expressions inutiles, onze, douze... ainsi que vingt, trente... qui, nous l’avons vu, pouvaient s’énoncer autrement ; 2" chaque mot n’a pas toujours le même rôle dans l’énoncé d’un nombre : dans mille cent vingt-quatre, tout mot a une valeur propre, et la juxtaposition n’est que le symbole de l’addition mille + cent + vingt + quatre : au contraire, si un nombre en précède un plus grand que lui. ils sont de ce fait solidaires et inséparables : ainsi deux mille six cent trente exprime deux mille + six cents +. trente. La numération écnte n’a pas ces inconvénients : elle j fait correspondre des symboles distincts. /, 3, S, 4, 5. 6, 7, S, 9 (v. chiffre), aux neuf premiers nombres ; à droite du nombre écrit, se trouve le chiffre qui ficrure le nombre des unités et, en allant vers la gaucne, les chiffres correspondent aux collectivités successives et de plus en plus grandes que nous avons énumérées. Au reste, un symbole spécial {zéro) remplace les ordres de collections qui pourraient faire défaut : ainsi, le nombre cinq cent sept s’écrira 507 et non 57 ; car, dans ce dernier cas, le 5 ae correspondrait pas à des centaines, mais bien ù des dizaines qui, généralement, sont figurées ii. cette place.
— y. Opérations fondamentales.
Faire l’addition concrète do deux ou plusieurs collcctiooSt c’est les réunir pour on former uno seule. Do même, Vaddition abstraite sera la réunion do plusieurs nombres en un seul que l’on appelle somme ou total ; on peut faire l’addition en ajoutant successivement à l’un des nombres toutes les unités qui composent le second, puis toutes celles qui composent le troisième... On n’agit pas autrement pour les petits nombres ; mais, pour ceux qui sont plus grands, on emploie certaines règles abréviativcs. (V. ADDITION.) Dans ces conditions, l’addition est commutativc et associative, c’cst-à-diro uuo son résultat est indépendant de l’ordre dans lequel on prend les nombres Jk additionner, et que, do plus, on peut former, parmi ces nombres, des groupes qu on additionne respectivement, en sorte que la somme de ces groupes soit toujours égale à la somme des nombres qu’il s’agit d’additionner. Etant données deux collections, dont l’une est plus grande que l’autre, on peut inversement enlever à la première autant d’objets qu’il v en a dans la seconde ; la collection restante est due alors reste, exn’-s ou différence, et l’opération s’appelle une soustraction. (V. ce mot.) On peut encore envi.sager autrement la soustraction et ajouter un à un à la plus petite collection autant d’objets qu’il en faut pour arriver à constituer une collection égale à la plus grande ; le nombre des objets ainsi ajoutés sera encore la différence dos nombres proposés. La multiplication n’est autre chose qu’une addition dans laquelle tous les nombres à ajouter sont égaux : l’un quelconaue de ces nombres est appelé multiplicande et le nombre de ces nombres égaux prend le nom de multiplicateur ; le résultat de l’opéraiion s’appelle /îrorfui/. La division d’un nombre par un autre revient inversement à en trouver un troisième [quotient) dont le produit par le second {dit>iseur) soit égal au premier (dividendes Pour plus de détails, nous renverrons à tous ces mots, ainsi qu’à puissance, racine, décimal.
— VI. Fractions. Avec la seule notion de nombre entier on peut définir la fraction de la manière suivante : On appelle fraction un ensemble de deux nombres entiers a et A écrits dans un certain ordre (l’un au-dessous do l’autre par exemple) et dont le second n’est pas nul. Deux fractions -, ■
Qt dites égales si les nombres
b* d
rt.ô.c.rf vérifient la relation axd = bxc ; cette convention est légitime, conforme aux conditions logiques de toute égalité et notamment à l’axiome : Deux quantités égales à une troisièîne sont égales entre elles. Cette définition donnée, on voit immédiatement que, si l’on multiplie ou si l’on divise les doux termes d’une fraction par un même nombre, on obtient une nouvelle fraction égale à la première. Cette propriété permet de simplifier une fraction, et de réduire plusieurs fractions au même dénominateur. L’opération fondamentale, l’addition, se définit alors de la manière suivante : on appelle somme des deux fractions uno nouvelle fraction qui a même dénominateur que les proposées et dont le numérateur est la somme des deux numérateurs. Cette définition est encore conforme aux principes de l’addition, car la somme n’est pas changée quand on modifie l’ordre ou le groupement des quantités à additionner. L’addition étant définie, on peut aisément en déduire les définitions de la soustraction ou de la multiplication et de la division des fractions par un nombre entier. Et voici, logiquement édifiée, l’arithmétique des fractions sans faire appel à d’autre notion que celle des nombres entiers ; il est d’ailleurs simple dd relier cette arithmétique à celle des nombres entiers par la convention suivante : toute fraction ayant un pour dénominateur est considérée comme égale au nombre entier qui lui sert de numérateur. Ainsi, comme cas particulier, les nombres entiers apparaissent dans la suite des fractions, et il en résulte encore que toute fraction peut être considérée comme le quotient de son numérateur par son dénominateur, lorsque ce quotient existe.
Le fait que certaines fractions représentent ainsi lo résultat d’une division nous ramène à la notion expérimentale dos fractions, habituellement exposée : l’unité étant divisée en parties égales, on appelle fraction un certain nombre de ces parties. (V. fraction). Cette définition implique l’idée de division pour tous les nombres entiers, en particulier pour l’unité, et c’est là encore une idée que nous n’avions pas eu encore à emprunter à l’oxpérienco en évoquant la "notion simple du nombre entier. ~ VIL Histoire DE l’arithmétique. Il semble aujourd’hui bien établi que le système de la numération décmiale vient uniquement de l’existence de dix doigts sur lesquels l’homme préhistorique aurait pris l’habitude de nonibror les objets ; cependant, les recherches faites par Alexandro do Humboldt, Pott, etc., prouvent aussi que les systèmes quinaire et vigésimal furent en honneur chez les primitifs. Après avoir institué la numération parlée, on chercha longtemps l’expression écrite des nombres ; le boulier ansSogue au tcnotu (russe), au soutcan pan (chinois), à Vabax ou abacus (étrusque), par ses boules diversement colorées, indiquait déjà à quelle classe de grandeurs on avait affaire, unités, dizaines, centaines... Enfin, de véritables signes numériques, derniers vestiges des anciennes écritures hiéroglyphiques, allaient être employés ; peu nombreux chez les Egyptiens, ils commencent, avec les Komains, à former une numération écrite, bien imparfaite il est vrai, et cependant assez complète. La tradition a longtemps voulu que les Arabes nous aient donné nos chirtYes actuels après les avoir empruntés aux Indiens ; Vossius (xvii’ siècle), Vincent et Cnasles en firent, au contraire, remonter l’origine à l’école p_*lhafforîcienne, mais les travaux récents de P. Tannery établissent que, si les Grecs de l’école d’.A,lexandrie avaient une notation très systématique, la numération décimale et ses principales règles sont bien originaires de l’Inde et ont été introduites ^en Occident vers le xi» ou su» s. par les Arabes. Si l’on en juge par quelques fragments d’Euclide, les anciens philosophes se sont fort attachés à la recherche des propriétés des nombres : déjà, pour l’école do r*yth3gore (500 av. J.-C), l’existence des nombres incommensurables (celui qui mesure la diagonale d’un carré, par exemple) ne faisait plus de doute, et i ! fallut attendre, ce-Eendanti jusqu’à notre siècle pour éclairer complètement i caractère des quantités irrationnelles. — On peut consulter à ce sujet, notamment au point de vue oibliogra- 57
