qui sont employés aussi en géométrie entre des longueurs, des aires, des volumes, des angles, etc.
La signification d’un quelconque de ces signes n’est pas toujours la même dans ses rôles différents, au sens qu’on doit l’exprimer différemment pour chaque rôle ; mais elle est toujours la même au point de vue de l’ensemble des propriétés de ce symbole dans tous ses rôles différents. C’est pourquoi j’ai déclaré que la signification d’un symbole résulte seulement de l’emploi qu’on peut faire de ce signe [8], savoir de l’ensemble de ses propriétés[1].
On appelle principe de permanence cette immutabilité de l’ensemble des propriétés de chaque symbole dans tous ses rôles différents. Mais au lieu d’avoir une origine presque mystérieuse, ce principe est le produit de la collaboration de l’instinct de l’économie intellectuelle et du désir de la précision ; c’est-à-dire que, pour employer une phrase à la mode, l’origine de ce principe est essentiellement pragmatiste.
En effet, l’instinct de l’économie nous pousse d’un côté à employer le plus possible les mêmes symboles — car de cette façon, comme dans les exemples que je viens de donner, si l’on excepte les détails dans l’exécution des opérations et peu de règles spéciales, chaque nouveau chapitre de l’arithmétique, bien que distinct des précédents pour le contenu, les renferme en soi au point de vue de l’apparence des formules ; ce qui donne un grand soulagement à la mémoire[2]. Mais d’un autre côté le désir de la précision nous impose, après avoir donné un premier rôle à un symbole, de ne pas lui en donner un deuxième avant d’avoir vérifié que ses propriétés formelles ne changeront pas.
29. Parfois, il peut arriver qu’on ait violé involontairement le principe de permanence ; ce cas se présente lorsqu’on découvre qu’un
- ↑ On ne pourrait pas considérer les deux significations de la phrase « est égal à », en Logique et en Géométrie [23], comme deux rôles d’un même symbole ; car, si dans le second rôle ce symbole serait propre aux « figures », même dans le premier rôle il se rapporterait aussi aux figures, envisagées comme « ensembles de points », savoir comme « classes ».
Par suite, on conçoit aisément l’impossibilité de représenter d’une même manière deux relations dont l’une (l’égalité géométrique) peut subsister entre deux figures même si l’autre (l’égalité logique) ne subsiste pas ; ainsi, par ex., les deux côtés d’un triangle isoscèle sont égaux au sens géométrique, sans être égaux au sens logique.
- ↑ Dans mon Introduzione alia teoria delle frazioni (leçon couronnée par le Congrès de « Mathesis » — Padova, septembre 1909) j’ai montré à quels artifices cachés on a recours parfois pour atteindre ce but précieux.
