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49. Nous pouvons employer une lettre pour relever l’analogie, dont j’ai touché un mot [38, 39], entre les symboles logiques
                                          $\land \quad \lor \quad \smallsmile \quad \smallfrown$
et les signes arithmétiques $0\quad 1\quad +\quad \times$

Si a représente une $\mathrm {Cls}$ quelconque, on a toujours les formules, dues à Boole :

$a\,\smallsmile \,\land \,=\,a\qquad a\,\smallfrown \,\land \,=\,\land \qquad a\,\smallfrown \,\lor \,=\,a\qquad a\,\smallsmile \,\lor \,=\,\lor$

pareillement, si a représente un $\mathrm {N}$ quelconque, on a toujours :

$a+0=a\qquad a\times 0=0\qquad a\times 1=a$

L’analogie est saisissante, mais elle s’arrête devant la dernière formule logique ; car, pour les $\mathrm {N}$ on n’a pas

$a+1=1$

Cela prouve que, pour représenter les idées logiques dont il est question, il fallait avoir recours à de nouveaux symboles [28, 30].

Propositions catégoriques ou conditionnelles

50. D’habitude, on dit qu’une proposition (au sens grammatical du mot) est vraie ou fausse ; est-ce exact ?

Il suffit de lire les propositions :

$5+3>7\ \ (1)\qquad 4+1>6\ \ (2)$

Dante$\;+\;$Virgile$\;>\;$Homère$\ \ (3)\qquad x+2>9\ \ (4)$

pour reconnaître que la (1) est vraie et que la (2) est fausse, tandis que la (3) n’est ni vraie ni fausse, étant dépourvue de signification. Et la (4) ? elle est telle qu’on veut, selon la signification qu’on va donner a la variable x ; en effet, par ex., elle est vraie si x vaut 10, elle est fausse si x vaut 4 et elle est dépourvue de signification si x n’est pas un nombre.

En laissant de côté la proposition (2) qui est fausse et la (3) qui est irrémédiablement dépourvue de signification, il nous reste : la proposition (1), dont la vérité ne saurait dépendre de notre volonté (dès qu’on a fixé, comme d’ordinaire, la signification des symboles constants dont elle se compose) et que pour cela nous disons catégorique ; et la proposition (4), dont la vérité (malgré la détermi-