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vérifient la condition « $x\;\varepsilon \;(a\,\smallsmile \,b)$ », c’est-à-dire [58 $\mathrm {P}$ 1]
à la $\mathrm {Cls}$ « $a\,\smallsmile \,b$ ».

C’est pourquoi on donne au signe « $\smallsmile$ » le rôle de symbole d’affirmation alterne (entre deux conditions, tandis qu’entre deux $\mathrm {Cls}$ il reste le symbole de réunion simple) en lui conservant la lecture « ou » (au sens du latin « vel » [42]).

Donc en symboles :

15.                         $x\;\varepsilon \;a\;.\,\smallsmile \,\,.x\;\varepsilon \;b\;:\,=\,x\;\varepsilon \;(a\,\smallsmile \,b)$($\mathrm {P}$ 3[$\mathrm {P}$ 2])

16.           $a,\,b\,\varepsilon \;\mathrm {Cls} \;.\,\supset \,.\,x$ $\varepsilon$ $(x\;\varepsilon \;a\,.\,\smallsmile \,.\,x\;\varepsilon \;b)=a\smallsmile b$($\mathrm {P}$ 13)

Comme au symbole « $\smallsmile$ » on ne donnera pas d’autres rôles, par des considérations analogues à celle que je viens de faire pour le symbole « $\smallfrown$ » [66] je suis amené à admettre que

17.                          $(a\smallsmile b)\;\varepsilon \;\mathrm {Cls} \;.\,\supset \,.\,a,b\;\varepsilon \;\mathrm {Cls}$ ($\mathrm {P}$ 8)^[1]

68. Voici des applications des symboles que nous connaissons, tirées de la Logique et de l’Arithmétique et qui sont propres à relever encore une fois l’analogie partielle entre ces deux sciences [49] :

18.                         $a\smallsmile b=\land :=:a=\land .b=\land$
savoir [37, 39, 64] « la réunion de deux $\mathrm {Cls}$ est rien, toutes les fois que chacune d’elles est rien, de même que

$a,b\;\varepsilon \;\mathrm {N} \;.^{\,\cdot }.\;\,\supset \,.^{\,\cdot }.\;a+b=0:\,=\,:\;a=0\,.\,b=0$

savoir [35] « la somme de deux $\mathrm {N}$ (absolus) est zéro toutes les fois que chacun d’eux est zéro » ;

19.                         $a\;\smallfrown \;b=\lor :=:a=\lor .b=\lor$
savoir « l’intersection de deux $\mathrm {Cls}$ est tout, toutes les fois que chacune d’elles est tout », de même que

$a,b\;\varepsilon \;\mathrm {N} \;.^{\,\cdot }.\;\,\supset \,.^{\,\cdot }.\;a\times b=1\;:\,=\,:\;a=1\,.\,b=1$

savoir [35] « le produit de deux $\mathrm {N}$ (entiers) est un, toutes les fois que chacun d’eux est un ».

Comme [37 et $\mathrm {P}$ 5]

20.                         $\lor ,\;\land \;\varepsilon \;\mathrm {Cls}$
il est inutile de placer devant les $\mathrm {P}$ 18, 19 l’$\mathrm {Hp}$ « $a,b\;\varepsilon \;\mathrm {Cls}$ » [$\mathrm {P}$ 17 et $\mathrm {P}$ 8].

1. Voici un ex. pour mieux éclairer la distinction entre les affirmations simultanées [65] ou alternes [67] ; si $x\;\varepsilon \;\mathrm {N}$,
   alors                         $2<x<7\,.\;\smallfrown \;.\,4<x<9\;:\,=\,:\;4<x<7$
   tandis que               $2<x<7\,.\;\smallsmile \;.\,4<x<9\;:\,=\,:\;2<x<9$