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l’une par l’autre deux écritures de la forme « $x\,,\;y\;\varepsilon \;a$ » et « $x\;\varepsilon \;a\,.\,y\;\varepsilon \;a$ », ce qui est permis sans exception.

Et de même pour la $\mathrm {P}$ 2 [64] ; en ajoutant que, comme on admet que

7.                                   $a\,,\,b\;\varepsilon \;\mathrm {Cls} \;.\,\supset \,.\;(a\;\smallfrown \;b)\;\varepsilon \;\mathrm {Cls}$

(c’est-à-dire, en éliminant les variables apparentes, que « l’intersection de deux $\mathrm {Cls}$ est aussi une $\mathrm {Cls}$ »), ainsi j’admets la $\mathrm {P}$ (qu’on ne trouve pas dans le Formulaire) :

8.                                    $(a\;\smallfrown \;b)\;\varepsilon \;\mathrm {Cls} \;.\,\supset \,.\;a\,,\,b\;\varepsilon \;\mathrm {Cls}$

Pour justifier cette P, j’analyse le symbole « $\smallfrown$ » dans ses deux rôles [39, 63], en déclarant qu’il n’en aura pas d’autres ; or, selon qu’on le place entre deux $\mathrm {Cls}$ ou entre deux conditions, on obtient une $\mathrm {Cls}$ ou une condition ; donc, selon que « $a\;\smallfrown \;b$ » est une $\mathrm {Cls}$ ou une condition, on a le droit de conclure que $a$ et $b$ sont aussi, respectivement, des $\mathrm {Cls}$ ou des conditions ; d’où la $\mathrm {P}$ 8.

Mais par rapport a la formule (l) [62] la chose est différente ; en effet, tandis que

9.                                   $x\;\varepsilon \;a\;.\,=\,.\;x\;\varepsilon \;b\;:\,\supset \,:\;a\;=\;b$
pour que « $a=b$ » implique « $x\;\varepsilon \;a\;.\,=\,.\;x\;\varepsilon \;b$ » il faut que $a$ et $b$ soient des $\mathrm {Cls}$ ; donc

10.                    $a\,,\,b\;\varepsilon \;\mathrm {Cls} \;.\;a=b\;:\,\supset \,:\;x\;\varepsilon \;a\;.\,=\,.\;x\;\varepsilon \;b$

On peut faire des distinctions analogues au sujet des formules (2) [62] et (3) [64], qui donnent les $\mathrm {P}$

11.                                $x\;\varepsilon \;a\;.\,\supset \,.\;x\;\varepsilon \;b\,:\,\supset \,:\;a\;\supset \;b$

12.                    $a\,,\,b\;\varepsilon \;\mathrm {Cls} \,.\,a\;\supset \;b\;:\,\supset \,:\;x\;\varepsilon \;a\,.\,\supset \,.\;x\;\varepsilon \;b$

13.               $a\,,\,b\;\varepsilon \;\mathrm {Cls} \;.\,\supset \,.\;x$ $\varepsilon$ $(x\;\varepsilon \;a\,.\,x\;\varepsilon \;b)\,=\,a\;\smallfrown \;b$

67. Nous savons que, si $a$ et $b$ sont des $\mathrm {Cls}$, leur réunion simple
« $a\,\smallsmile \,b$ » est aussi une $\mathrm {Cls}$ [39], c’est-à-dire que l’on a :

14.                         $a\,,\,b\;\varepsilon \;\mathrm {Cls} \;.\,\supset \;(a\;\smallsmile \;b)\;\varepsilon \;\mathrm {Cls}$($\mathrm {P}$ 7)^[1]

Par suite, si « $a\,,\,b\;\varepsilon \;\mathrm {Cls}$ », l’écriture « $x\;\varepsilon \;(a\,\smallsmile \,b)$ » est une condition explicite par rapport à $x$ [60] qui est égale a l’affirmation alterne des conditions « $x\;\varepsilon \;a$ » et « $x\;\varepsilon \;b$ » ; en effet [60], l’ensemble des $x$ qui vérifient une au moins de ces conditions est égal à l’ensemble des $x$ qui

1. Une $\mathrm {P}$ entre [xx] indique une citation, tandis qu’une $\mathrm {P}$ entre (xx) indique une remarque d’analogie.