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De même, par ex. [64 $\mathrm {P}$  2],
                              $x=5\,.\,y=4:\supset :x+y=9$
mais
                              $x+y=9:\lnot \supset :x=5\,.\,y=4$

Donc aussi la négation de l’inclusion ou de l’implication n’est pas symétrique.

82. On dit enfin qu’une relation est transitive si, lorsqu’elle subsiste entre x et y et entre y et z, elle subsiste aussi entre x et z.

L’égalité est transitive, c’est-à-dire [64 $\mathrm {P}$ 2] :

46. $x=y\,.\,y=z:\supset :x=z$

L’appartenance n’est pas transitive, ainsi que nous l’avons déjà vu [33].

L’inclusion et l’implication sont transitives, ainsi que l’avait énoncé Aristote et l’a répété Leibniz, c’est-à-dire que :

47. $a\supset b\,.\,b\supset c:\supset :a\supset c$
dans sa double lecture : « si tout a est un b et si tout b est un c, alors tout a est un c », « si a implique b et si b implique c, alors a implique c ».

On remarquera que le « $\supset$ » principal de la $\mathrm {P}$ 47 n’a pas changé de lecture ; en effet, chacune des formules « $a\supset b$ », « $b\supset c$ », « $a\supset c$ », soit qu’on l’envisage comme inclusion ou comme implication, est toujours une condition ; par suite, ce qui précède le « $\supset$ » principal est l’affirmation simultanée de deux conditions [63, 64], c’est-à-dire une condition, et de même ce qui le suit ; c’est pourquoi le « $\supset$ » principal de la $\mathrm {P}$ 47 est forcément un signe d’implication [54, 55]^[1].

83. En résumant : l’égalité est réflexible, symétrique et transitive ; l’appartenance n’a aucune de ces propriétés ;
l’inclusion et l’implication sont seulement réflexibles et transitives.

La comparaison de ces propriétés confirme encore une fois la nécessité de la distinction entre les symboles « $=\;\varepsilon \;\supset$ » [33, 34, 71].

1. De l’affirmation simultanée « $x\lnot \,=\;y\,.\,y\lnot =z$ » on ne peut tirer aucune relation entre x et y. De même pour l’affirmation simultanée « $a\lnot \supset b\,.\,b\lnot \supset c$ » dans sa double lecture.