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propriété^[1]. Eh bien ! Malgré ce que je viens de dire, si vous prenez au hasard un traité d’Arithmétique, il est plus probable que vous y rencontriez la (1) que la (3) !

Transformation des relations logiques

87. Les relations logiques « $=\,\varepsilon \,\supset$ » sont liées entre elles par des propriétés très importantes.

Nous avons déjà vu [81] que la formule « $a\,\supset \,b$ » (tant comme inclusion que comme implication, selon que a et b sont des $\mathrm {Cls}$ ou des conditions par rapport à la même variable) n’implique pas la formule « $b\,\supset \,a$ » (qu’on peut appeler la réciproque de la précédente) ; mais, lorsque « $a\,\supset \,b$ » et « $b\,\supset \,a$ » subsistent toutes les deux, leur affirmation simultanée (c’est-à-dire « tout a est un b et tout b est un a », ou bien « a implique b et b implique a ») implique « $a\,=\,b$ », car les $\mathrm {Cls}$ et les conditions sont toujours envisagées au point de vue de l’extension [27, 60]. Donc :

52.                              $a\,\supset \,b\,.\,b\,\supset \,a\,:\,\supset \,:\,a=b$(Leibniz)
La réciproque de cette P, c’est-à-dire :

« $a\,=\,b$ » implique « $a\,\supset \,b\,.\,b\,\supset \,a$ »

est vraie seulement si a (et par conséquent aussi b [$\mathrm {P}$ 57]) est une $\mathrm {Cls}$ ou une condition, ce qu’il faut déclarer, parce qu’on pourrait avoir « $a\,=\,b$ » même en d’autres cas. Donc :

53.                    $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,.\,a\,=\,b\,:\,\supset \,:\,a\,\supset \,b\,.\,b\,\supset \,a$(Leibniz)
et l’on sous entend la $\mathrm {P}$ analogue pour les conditions à cause des considérations déjà développées [62]^[2].

88. Comme le signe « $\supset$ » est toujours employé entre deux $\mathrm {Cls}$ ou entre deux conditions (parce qu’on ne lui donnera pas d’autre rôle outre que ceux d’inclusion [31] et d’implication [55]), j’ajoute aux $\mathrm {P}$ du Formulaire les P

54.                              $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,.\,a\,\supset \,b\,:\,\supset \,:\,b\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$

1. Telle, par ex., la détermination du plus grand commun diviseur qui, par ex., est 4 aussi bien pour 8 et 12 que pour 8 et 28, bien que 12 ne soit pas égal à 28.
2. Ainsi que les analogues des $\mathrm {P}$ 7, 8 [66], 14, 17 [67], 24, 26 [70] et, dans la suite immédiate, les analogues des $\mathrm {P}$ 54, 55, 57, 58 [88].