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Maintenant, comme on peut transporter le signe «
» d’un membre à l’autre d’une égalité [
96], on passe des
103 et 104 aux
105 et 106, qu’on peut énoncer ainsi :
« La réunion de deux
est le contraire de l’intersection de leurs contraires » [
105] ; « l’intersection de deux
est le contraire de la réunion de leurs contraires » [
106].
Ainsi donc la
105 nous donne une manière d’exprimer une réunion par une intersection et la
106 nous donne une manière d’exprimer une intersection par une réunion.
D’où il parait que, le signe «
» étant connu, on pourrait conserver un seul des signes «
» et «
», celui qu’on voudrait, en se passant de l’autre.
Ce n’est qu’une remarque de possibilité, car les deux signes considérés sont si commodes qu’on ne saurait conseiller de renoncer à aucun d’eux.
108. Comme exemple d’application de nos procédés idéographiques, je vais montrer comment de la vérité des quatre P, dont je viens de parler en supposant que a et b étaient des
, découle celle des mêmes P, en supposant qu’a et b soient des conditions par rapport à une même variable.
En effet, si x est cette variable, on pourra déterminer [60] deux
u et v telles que
(1)
Comme u et v sont des
, elles vérifient la
103, c’est-à-dire
![{\displaystyle \lnot (u\smallsmile v)=(\lnot u)\smallfrown (\lnot v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d07a1528b68ac264b23c82d3d426a847a6a651d)
En opérant sur les deux membres de cette égalité par l’écriture «
» [
10], on obtient
![{\displaystyle x\,\varepsilon \,\lnot (u\smallsmile v)=x\,\varepsilon \,[(\lnot u)\smallfrown (\lnot v)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b88dfcccf8273db63cbe1f6c1a77f2d97dac6e7)
Dans le second membre on peut distribuer l’écriture «
» par rapport au signe «
» [96] ; on obtient ainsi
![{\displaystyle x\,\varepsilon \,\lnot (u\,\smallsmile \,v)\,:\,=\,:\,x\,\varepsilon \,\lnot u\,.\,\smallfrown \,.\,x\,\varepsilon \,\lnot v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18754eedf8f29e8c99ce353e2896c1445c1e2106)
Puisque u et v sont des
,
«
», «
» et «
» sont aussi des
[
14, 24] ; on peut donc transposer partout les deux signes «
» et «
» [
28], après quoi on peut même transposer partout x et «
» [
22] ; on obtient
![{\displaystyle \lnot [x\,\varepsilon \,(u\,\smallsmile \,v)]\,:\,=\,:\ \lnot (x\,\varepsilon \,u)\,.\,\smallfrown \,.\,\lnot (x\,\varepsilon \,v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ac9d23fa88eff5dea94c03f259de2103828fd5a)