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Dans le premier membre on peut distribuer l’écriture « $x\,\varepsilon$ » par rapport au signe « $\smallfrown$ » [96] ; donc

$\lnot [x\,\varepsilon \,u\,.\smallsmile \,.\,x\,\varepsilon \,v]\,:\,=\,:\,\lnot (x\,\varepsilon \,u)\,.\,\smallfrown \,.\,\lnot (x\,\varepsilon \,v)$

Maintenant, en remplaçant « $x\,\varepsilon \,u$ » et « $x\,\varepsilon \,v$ » par a et b (1), on retrouve la $\mathrm {P}$ 103 dont nous sommes parti et qui résulte vraie aussi dans le second rôle des signes « $\smallsmile$ » et « $\smallfrown$ ».

Et de même pour les trois autres $\mathrm {P}$ [107].

109. Mais ce qu’il y a de plus remarquable dans les quatre $\mathrm {P}$ dont nous nous occupons, c’est que, pour passer de la $\mathrm {P}$ 103 à la $\mathrm {P}$ 104 (et réciproquement) ou de la $\mathrm {P}$ 105 à la $\mathrm {P}$ 106 (et réciproquement), il suffit d’échanger entre eux les signes « $\smallsmile$ » et « $\smallfrown$ » (et par suite, dans la lecture de ces P, il suffit d’échanger entre eux les mots « réunion » et « intersection », ou les anciens mots « somme » et « produit »).

Cette propriété est tout à fait analogue à celles qu’on rencontre dans la géométrie projective, dont les $\mathrm {P}$ restent vraies en y échangeant entre eux les mots point et droite dans le plan, point et plan dans l’espace, droite et plan dans la gerbe. L’ensemble de ces propriétés est appelé par les géomètres « loi de dualité ».

Dualité logique

110. Il y a donc une loi de dualité (ou de corrélation) aussi dans la Logique [109] ; c’est M. Peirce qui en 1867 lui donna ce nom et lui reconnut une étendue que les seules $\mathrm {P}$ de De Morgan [107] ne permettaient pas de soupçonner.

D’abord je précise le plus grand champ d’application de la dualité logique.

Cette loi s’applique (comme on verra tout de suite [111]) à toute $\mathrm {P}$ dans laquelle chaque variable représente une $\mathrm {Cls}$ et — en dehors des écritures du type « $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$ », « $a,b\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$ », etc. et des signes de ponctuation — on trouve seulement les symboles

$=\,\supset \,\smallsmile \,\smallfrown \,\wedge \,\vee \,\lnot$

Elle s’applique aussi aux $\mathrm {P}$ à double rôle, c’est-à-dire dans lesquelles les variables sont toutes des $\mathrm {Cls}$ ou toutes des conditions, et