Page:Padoa - La Logique déductive dans sa dernière phase de développement.djvu/89

— 83 —

par suite, en dehors des variables et des signes de ponctuation, on ne trouve que les symboles

$=\ \supset \ \smallsmile \ \smallfrown \ \ \lnot$

mais, même en ce cas, on opérera comme si chaque variable devait représenter une $\mathrm {Cls}$, pour interpréter ensuite la $\mathrm {P}$ corrélative comme $\mathrm {P}$ à double rôle.

111. J’appelle transformation corrélative celle au moyen de laquelle, une $\mathrm {P}$ du type considéré [110] étant donnée :

1) tout « $\smallsmile$ » de réunion est changé en « $\smallfrown$ » ; et, réciproquement, tout « $\smallfrown$ » d’intersection (même sous entendu, dans des écritures du type « $a\,\lnot b$ » [$\mathrm {P}$ 29]) est changé en « $\smallsmile$ » ;

2) on échange entre elles les deux $\mathrm {Cls}$ entre lesquelles se trouve un « $\supset$ » d’inclusion ;

3) tout « $\wedge$ » est changé en « $\vee$ », et réciproquement.
xxxxOn ne doit pas faire d’autres changements ; par suite, les symboles « $=$ », « $\lnot$ » et les signes de ponctuation demeureront toujours invariés, ainsi que le symbole « $\smallsmile$ » d’affirmation alterne, le symbole « $\smallfrown$ » d’affirmation simultanée (ordinairement sous entendu [$\mathrm {P}$ 2]), le symbole « $\supset$ » d’implication et les variables, sauf dans le cas 2).
xxxxAinsi la transformation corrélative résulte réciproque par définition, c’est-à-dire si $\alpha$ est une $\mathrm {P}$ du type considéré et si $\beta$ est sa corrélative (obtenue en assujettissant $\alpha$ à la dite transformation), alors la corrélative de $\beta$ est derechef $\alpha$.

112. Avant de justifier la loi de dualité (selon laquelle, si une $\mathrm {P}$ du type considéré [110] est vraie, alors sa corrélative [111] aussi doit être vraie), il est bon de se familiariser avec la transformation corrélative. Commençons par les $\mathrm {P}$ les plus simples, dans lesquelles on trouve seulement les symboles « $=\,\smallsmile \,\smallfrown$ » ; il y a dualité entre les $\mathrm {P}$ 72 et 73 [94], 74 et 75 [ibid.], 78 et 80 [95], 79 et 81 [ibid.], 82 et 83 [ibid.].

Si l’on veut des $\mathrm {P}$ corrélatives dans lesquelles entre aussi le symbole « $\lnot$ », on n’a qu’à observer les $\mathrm {P}$ 103 et 104 [107], 105 et 106 [ibid.], ainsi que je viens de dire [109] ; tandis que les $\mathrm {P}$ 68 et 69 [92], 92 et 94 [98], 93 et 95 [ibid.] nous offrent des couples de $\mathrm {P}$ corrélatives dans lesquelles entre aussi le symbole « $\supset$ ».

Celles-ci sont toutes des $\mathrm {P}$ à double rôle dans lesquelles, en opérant comme si chaque variable devait représenter une $\mathrm {Cls}$ [110], on