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107.                    $a\supset b\,.\,a\supset c\,:\,\supset \,:\,a\supset b\smallsmile c$
108.                    $b\supset a\,.\,\smallsmile \,.\,c\supset a\,:\,\supset \,:\,b\smallfrown c\supset a$(Mc Coll, a. 1878.)

113. Nous avons donné plusieurs exemples de dualité entre des $\mathrm {P}$ à double rôle [112] ; maintenant, nous allons en donner entre des $\mathrm {P}$ qui appartiennent exclusivement à la théorie des $\mathrm {Cls}$.

Les $\mathrm {P}$ 18 et 19 [68] sont corrélatives entre elles, ainsi que les P

$\wedge \,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \qquad \qquad \vee \,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$

(dont se compose la $\mathrm {P}$ 20, à cause de la $\mathrm {P}$ 4), ainsi que les $\mathrm {P}$ 32 et 34 [74], 33 et 35 [ibid.], 36 et 37 [ibid.], 70 et 71 [92]^[1].

114. Ainsi qu’il arrive dans la géométrie projective [109], il y a des $\mathrm {P}$ logiques qui (sauf un changement de lettres, sans aucune importance) ont pour corrélatives les mêmes P ; on peut les appeler auto-corrélatives.

C’est le cas, par exemple, du syllogisme en Barbara dans sa forme collective [82 $\mathrm {P}$ 47,105]

$\ a\supset b\,.\,b\supset c\,:\,\supset \,:\,a\supset c$(1)

que la dualité transforme dans la P

$b\supset a\,.\,c\supset b\,:\,\supset \,:\,c\supset a$

(d’où, en appliquant au signe « $\smallfrown$ » sous-entendu la propriété commutative [$\mathrm {P}$ 73] et en échangeant entre elles les lettres a et c) on retourne à la (1).

De même pour le sorite dans sa forme collective [$\mathrm {P}$ 101].

Parmi les $\mathrm {P}$ auto-corrélatives il y a aussi des égalités sur lesquelles la dualité ne produit d’autres effets que l’échange des deux membres entre eux ; par exemple, la $\mathrm {P}$ de Schröder (a. 1890)

109.$(a\smallsmile b)\smallfrown (b\smallsmile c)\smallfrown (c\smallsmile a)=(a\smallfrown b)\smallsmile (b\smallfrown c)\smallsmile (c\smallfrown a)$

qui est vraie pour les deux rôles des signes « $\smallfrown$ » et « $\smallsmile$ » et que l’on peut vérifier pour les $\mathrm {Cls}$ dans la fig. 7 [p. 70]^[2].

1. Parmi les $\mathrm {P}$ que nous avons eu l’occasion de remarquer, sont aussi corrélatives les $\mathrm {P}$ 7 [66] et 14 [67], 8 et 17 [ibid.], 54 et 55 [88], 76 et 77 [94] ; tandis qu’il y a seulement une apparence de corrélativité entre les $\mathrm {P}$ 3 [64] et 15 [87], 13 [66] et 16 [67].
2. La transformation réciproque ne produit aucun effet sur les $\mathrm {P}$ 24, 25, 26 [70], 96, 98 [99] : elle produit un simple échange de lettres dans la $\mathrm {P}$ 99 [99] et la commutation d’une affirmation simultanée dans les $\mathrm {P}$ 52, 53 [87]. Donc ces $\mathrm {P}$ sont aussi auto-corrélatives.