Page:Padoa - La Logique déductive dans sa dernière phase de développement.djvu/98

— 92 —

il suffit de savoir que

$a,b\,\varepsilon \,\mathrm {N} \,.\,a\geq b\,.\,\supset \,.\,(a-b)\,\varepsilon \,\mathrm {N} \qquad$ et que $\qquad a-b=a-b$

c’est-à-dire : un fait arithmétique et un fait logique, à savoir une autre application immédiate du principe d’identité.

Donc le principe d’identité, même dans sa forme tautologique, peut servir comme moyen de preuve.

Mais, bien que pour nous le signe « $=$ » signifie toujours « est la même chose que » [23], ce signe ne relie pas nécessairement deux écritures identiques. En effet, par exemple, les polygones équilatéraux et les polygones équiangles forment deux $\mathrm {Cls}$ qu’on définit séparément ; mais on démontre, d’après Euclide, que

triangle équilatéral $\supset$ triangle équiangle

et que

triangle équiangle $\supset$ triangle équilatéral

d’où il résulte [$\mathrm {P}$ 52] que

triangle équilatéral $=$ triangle équiangle

Cette égalité n’est pas une tautologie. Ainsi que des centaines de $\mathrm {P}$ analogues, elle énonce la découverte que deux $\mathrm {Cls}$, différentes au point de vue de la compréhension (c’est-à-dire des propriétés qui les caractérisent), se sont révélées égales an point de vue de l’extension (c’est-à-dire des individus qui les composent) ; car les mêmes triangles sont en même temps équilatéraux et équiangles.

Et cette égalité caractérise les triangles parmi tous les polygones ; car un polygone, qui ne serait pas un triangle, pourrait être équilatéral sans être équiangle, ou équiangle sans être équilatéral, c’est pourquoi il faut une troisième locution « polygone régulier » pour designer les polygones qui sont en même temps équilatéraux et équiangles (par exemple, les quadrilatères, des trois espèces que je viens de considérer, sont nommés losanges, rectangles, carrés).

Et ce que je viens de dire pour les $\mathrm {Cls}$ pourrait être répété pour les conditions ; en effet, par exemple, les formules

$x-y=z\qquad$ et $\qquad z+y=x$

dont nous venons de nous occuper, sont différentes au point de vue de la compréhension, mais elles sont égales au point de vue de l’extension (car les nombres x, y, z qui vérifient la première, vérifient aussi la seconde, et réciproquement).