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On peut aussi exprimer les deux autres principes (II) (III), en se rapportant à une condition [119] :

$x\,$$\varepsilon$$\,[x\,\varepsilon \,a\,.\,\lnot (x\,\varepsilon \,a)]=\wedge$($\mathrm {II^{\prime }}$)

$x\,$$\varepsilon$$\,[x\,\varepsilon \,a\,.\,\smallsmile \,.\,\lnot (x\,\varepsilon \,a)]=\vee$($\mathrm {III^{\prime }}$)

c’est-à-dire : l’affirmation simultanée d’une condition et de sa négation est une condition absurde [119¹] ;
tandis que : l’affirmation alterne d’une condition et de sa négation est une condition illusoire [119¹].

Au principe (III’) on peut aussi donner la forme plus simple [119] :

$x\,\varepsilon \,a\,.\,\smallsmile \,.\,\lnot (x\,\varepsilon \,a)]$($\mathrm {III^{\prime \prime }}$)

121. La simplicité excessive du principe d’identité pourrait faire douter de sa fécondité. Dans plusieurs livres j’ai lu, en effet, que de l’affirmation tautologique « $x=x$ » on ne saurait rien tirer ; mais il n’en est pas ainsi.

Tout le monde sait, par exemple, que

$x,y,z\,\varepsilon \,\mathrm {N} \,:\,\supset \,:\,x-y=z\,.\,=\,.\,z+y=x$

c’est-à-dire que : trois nombres qui vérifient l’égalité « $x-y=z$ » vérifient aussi l’égalité « $z+y=x$ », et réciproquement. Par suite, la vérité de chacune de ces égalités peut servir comme preuve de la vérité de l’autre.

Ainsi donc, pour démontrer que

$a,b\,\varepsilon \,\mathrm {N} \,.\,\supset \,.\,(a+b)-b=a$

il suffit de savoir que

$a,b\,\varepsilon \,\mathrm {N} \,.\,\supset \,.\,(a+b)\,\varepsilon \,\mathrm {N}$

et que (sans aucune $\mathrm {Hp}$)

$a+b=a+b$

c’est-à-dire : un fait arithmétique (qui dépend de la signification des symboles « $\mathrm {N}$ » et « $+$ ») et un fait logique (qui ne dépend pas de la signification du symbole « $+$ ») à savoir une application immédiate du principe d’identité.

De même, pour démontrer que

$a,b\,\varepsilon \,\mathrm {N} \,.\,a\geq b\,:\,\supset \,:\,(a-b)+b=a$